４．従って、相手にサ−ブ権がある状態で自分が得点する確率 Ｐ(A,B)＝Ｐ(B,A)は、
Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.62
| NO.526 | '99 6/8 | Junko | バーレーボールの得点（３） |
３．自分にサ−ブ権がある状態で自分が得点する確率 Ｐ(A,A)＝Ｐ(B,B)を求めます。
４．従って、相手にサ−ブ権がある状態で自分が得点する確率
Ｐ(A,B)＝Ｐ(B,A)は、
どちらが得点したかで場合分けしていきます。
その時に、どちらにサ−ブ権があるか気をつける必要があります。
また、得点に関係しないサ−ブ権の移動は考えなくてもいいことにご注意ください。
５．
同様にどちらのチ−ムが得点したかで場合わけです。
(相手チ−ムが得点した後に得点するような場合を赤で表示しています。)
サ−ブ権を持って試合を開始したチ−ムの方が、
最初は有利(最初の１点は2/3と1/3)ですがだんだんとその度合いが弱くなり、
１５点ともなるとほとんど気にならない程度(1/2と1/2)になるのでしょうか？
でも、１５点まで検証するのはちょっと大変そう？
| NO.527 | '99 6/9 | 水の流れ | 置換積分（１２） |
さらに、ｎ＝３のとき、特にデルトイド、
ｎ＝４のとき、特にアステロイド と言います。
さらに、ｎ＝１のとき、カージオイド（心臓形）、
ｎ＝２のとき、ネフロイド（腎臓形）と言います
| NO.528 | '99 6/12 | Idaho Potato | 連続の証明（７） |
| x - a | ＜ δは、 0 ＜ | x - a | ＜ δが正当。
なぜなら、x = a を除外しておかないと、
f(a) = αを含意することになり、結果的に、
「極限の定義」ではなく、「連続性の定義」になってしまいます。
NO.524
証明の3行目以下での δ の選び方：
「そのような δ は必ず存在する」で済ませても
よいかもしれませんが、たとえば、次のようにすれば、
δを具体的に選び出すことができます。
右辺の値が存在して、しかも 0 でないことは、
a が無理数であることからわかります。
| NO.529 | '99 6/12 | Idaho Potato | 連続の証明（８） |
No.524でJunkoさんが 「連続の証明」を完結してくれたところで、 ε-δの意味や背景について、少し考えてみましょう。
「関数が連続である」という言葉から、
どのような状態を想像しますか?
たいていの人は、その関数のグラフを考えて、
「グラフの線がつながっている」というイメージでとらえると思います。
その「イメージ」をもう少し明確にするためにつくられたのが、
「関数の極限」という概念を用いた連続性の定義です。
それでは、「関数の極限」とは何でしょうか?
高校の教科書では、「極限」に対する素朴なイメージを、
「限りなく近づく」などという表現で説明しています。
しかし、このような直観的な説明だけでは、
極限の概念を数学の対象として扱うためには不十分です。
そこで、数学的に厳密で曖昧性のない形で、
「限りなく近づく」ということの意味を明確にするために考え出されたのが、
ε-δを用いた極限の定義なのです。
そして、ε-δによって厳密に定義された極限の概念を用いることによって、 関数の連続性も、数学的に厳密に定義されるのです。
ところで、こうして定義された「関数の連続性」というのは、
私たちが持っている「連続な関数」に対する直観的なイメージを正しく反映しているのでしょうか?
No.511の問題は、
まさにこのようなことを私たちに問いかけていると思います。
「連続 = グラフの線がつながっている」という立場で考えると、
No.511の関数は、そもそもグラフを描くこと自体が困難(不可能?)ですし、
想像力をたくましくしてグラフを思い浮かべてみても、
それは、とても「線がつながっている」などと形容できるものではありません。
ところが、ε-δによって定義された「連続性」の概念というのは、
このような、一見「連続」とは思えないような関数をも含んでしまうのです。
ε-δによる連続性の定義というのは、
「連続性の概念を厳密に定めて、
数学の対象として扱えるようにする」という数学的な要求は、
確かに満たしています。
しかし、
「関数が連続であるとはどういうことか」という「哲学的」な問いに対しては、
必ずしも十分な答えを与えているわけではないように思えます。
| NO.530 | '99 6/12 | 水の流れ | 高貴な未解決問題・その２ |
第２話：「完全数」
自然数の正の約数について、考えてみましょう。
例えば、６の約数は６＝２×３より、１，２，３，６です。
これらを足してみると、１＋２＋３＋６＝１２となり、
ちょうど元の６の２倍になっています。
このように、自然数ｎの正の約数の和が元の自然数の２倍になっているような
数を完全数と言います。
これは、ピュタゴラス学派（紀元前５００〜３００年）が自然数の素因数分解の中で、
発見していったと思われます。
この定義から、最初のいくつかの完全数は、６，２８，４９６，８１２８，… であることが割
合早くから知られています。
６＝３×２＝(１＋２＋３＋６)×２
２８＝７×４＝(１＋２＋４＋７＋１４＋２８)×２
４９６＝３１×１６＝(１＋２＋４＋８＋１６＋３１＋６２＋１２４＋２４８＋４９６)×２
…………
ここで、数字Ｐ＝ｑ×２(ｐ−１)＜ｑは素数＞であるが完全数を考えてみます。
２とｑは素数だから、Ｐは素因数分解されています。
ｑの約数の和は１＋ｑ
２(ｐ−１)の約数の和は１＋２＋４＋…＋２(ｐ−１)＝２ｐ−１であり、
Ｐ＝ｑ×２(ｐ−１)の約数の和は、掛けてみると、（ｑ＋１）（２ｐ−１）
一方、Ｐは完全数だから、Ｐの約数の和は ２×ｑ×２(ｐ−１)＝ｑ×２ｐ
両者が等しいことより、 （ｑ＋１）（２ｐ−１）＝ｑ×２ｐ
展開して、比べると、ｑ＝２ｐ−１
それで、ｑが素数なら、
ｑ×２(ｐ−１)＝（２ｐ−１）・２(ｐ−１)
そして、 Ｍ（ｐ）＝２(ｐ−１)がメルセンヌ数で、素数なら
Ｐ＝（２ｐ−１）・２(ｐ−１) は完全数になります。
現在までに、分かっている完全数を順に、書きます。
６（ｐ＝２）、２８（ｐ＝３）、４９６（ｐ＝５）、８１２８（ｐ＝７）、
３３５５０３３６（ｐ＝１３）、
８５８９８６９０５６（ｐ＝１７）、１３７４３８６９１３２８（ｐ＝１９）、
２３０５８４３００８１３９９５４１２８（ｐ＝３１）
……
そして、今現在の最大の完全数はＰ＝２８５９４３３×（２８５９４３３−１）
という気の遠くなるような大きな数字です。
さて、完全数の「オイラーの定理」を書く前に、この偉大で有名な数学者を紹介します。
スイスの数学者のオイラーは（Lｅｏｎｈａｒｄ Ｅｕｌｅｒ，１７０７〜１７８３）
ヨハン・ベルヌイーにより指導され、ペテルスブルクのアカデミーとベルリンの科学アカデミー
で仕事をした。彼は驚くべき記憶力の持ち主で、１７３５年に右目の視力を失ったし、また、
１７６６年には左目の視力も無くした。それにもかかわらず、彼は驚くべき記憶力の助けで、
口述をさせることにより、彼の研究成果を発表し続けたのである。オイラーは最も卓越した数学の
著作家で、１３人の子供がいたが、生涯に８００以上の論文を書いた。
また、パリのアカデミーから１２回も賞を受けている。
フランソア・アラゴは、次のように述べている。
「オイラーは人が息をするように、鷲が空中にいるように計算をした」と。
オイラーは記号、ｅ，ｉ やｘの関数ｆ（ｘ）の記号を導入することにより、数学を系統的にした。
彼は、微分方程式に偉大な貢献をした。
「無限小解析入門」（１７４８年）は解析学の基礎を与えた。
オイラーは、ベーター関数やガンマー関数、またゼーター関数をも研究した。
フランスの有名なラプラスは「オイラーを読め、オイラーを読め、彼は万物について私達の師匠である」
と学生たちに言ったそうである。
お待たせしました。
「オイラーの定理」：
ｎが（２ｐ−１）・２(ｐ−１)の形を持ち、
２ｐ−１が素数なら、そのときに限りｎは偶の完全数である。
＜証明＞ 条件が十分であることは、前に述べてあるので、分かりますから、次に必要であることを
示してください。皆さん！考えてください。
皆さんは、２１世紀には（今世紀中かも）何番目かの完全数数を見ることができるでしょう。 是非、チャレンジください。完全数数は話題がつきません。
そこで、問題です。
問題：完全数のすべての約数の逆数の和は２であることを証明してください。
＜参考文献：素数の不思議：好田順治著（現代数学社）＞
| NO.531 | '99 6/14 | 水の流れ | 本を棚に入れる問題（１） |
太郎さんは作業机の下にいっぱいの本があります。
一度、整理して本棚に入れたいと思っています。
入れ方にもいろいろな場合があることに太郎さんは気がつきました。
＜１＞ 本でみると、異なる本なのか、見分けのつかない本なのかが問題になります。
＜２＞ 本棚においても同じことで、異なる棚か、同じ棚かを考えなければなりません。
これで、この組み合わせによって、４つの場合に分かれます。まだあります。
＜３＞どの本棚にも必ず本を入れて空がないように入れるか、それとも本をいれない棚を
許すかにもよります。
結局８つの場合を考えて、整理することにしました。
問題１：５冊の異なる本を、３個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があっても良いとする。
問題Ａ：一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があっても良いとする。
問題２：５冊の異なる本を、３個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があってはいけないとする。
問題Ｂ： 一般に、ｍ冊の異なる本を、ｎ個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があってはいけないとし、ｍ≧ｎとする。
問題３：５冊の同じ本を、３個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があっても良いとする。
問題Ｃ：ｍ冊の同じ本を、ｎ個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があっても良いとする。
問題４：５冊の同じ本を、３個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があってはいけないとする。
問題Ｄ：ｍ冊の同じ本を、ｎ個の異なる棚に入れる方法は何通りでしょうか？
ただし、空の本棚があってはいけないとし、ｍ≧ｎとする。
太郎さんは本の整理に疲れてきましたので、後半の入れ方は次回にしたいと思っています。
| NO.532 | '99 6/15 | Junko | 本を棚に入れる問題（２） |
Ｂ(５，１)＝１
Ｂ(５，２)＝２５−｛２Ｃ１・Ｂ(５，１)}＝３２−２＝３０
Ｂ(５，３)＝３５−｛３Ｃ１・Ｂ(５，１)＋３Ｃ２・Ｂ(５，２)}＝２４３−９３＝１５０
Ｂ(５，４)＝４５−｛４Ｃ１・Ｂ(５，１)＋４Ｃ２・Ｂ(５，２)＋４Ｃ３・Ｂ(５，３)}＝１０２４−７８４＝２４０
Ｂ(５，５)＝５５−｛５Ｃ１・Ｂ(５，１)＋５Ｃ２・Ｂ(５，２)＋５Ｃ３・Ｂ(５，３)＋５Ｃ４・Ｂ(５，４)}＝３１２５−３００５＝１２０
・・・
ｎＨｍ＝ｎ＋ｍ−１Ｃｍについて
先程の例(３Ｈ５)でいえば、
５冊の本を、(３−１)＝２つの仕切りで仕切ると考えます。
《ＢＢＢ｜Ｂ｜Ｂ》・・・１つ目の本棚に３冊、２つ目の本棚に１冊、３つ目の本棚に１冊
《ＢＢ｜｜ＢＢＢ》・・・１つ目の本棚に２冊、２つ目の本棚はなし、３つ目の本棚に３冊
といった具合です。
これは、本５＋仕切り２＝７個のものを並べる並べ方、ただし本、仕切りともそれぞれ区別はしない
ということで、７Ｃ５（または、７Ｃ２）となります。
一般にｎＨｍの場合には、ｎ個のものと、ｍ−１個の仕切りを１列に並べると思えばいいので、
ｎ＋ｍ−１Ｃｍになるわけです。
| NO.533 | '99 6/15 | 月の光 | タイル敷き（３） |
この問題は始め、２重積分や複素数や難しい数学を使って証明されました。
これはちょうどネズミを殺すのに大砲を持ってくるようなものだそうです。
１９８５年に数学者のモントゴメリーはある会議においてもっと初等的な証明をしようと提案しました。
その後この提案に応えて１３の異なる証明が出されました。
そのうち、最も簡単な証明の一つであるリチャード・ロッホバーグの証明を紹介します。
証明）
大きい長方形を、左下の角を基点として単位長さの半分を一辺とする正方形のチェッカー盤パターンに
分ける。それぞれのタイルには整数の辺があるから、黒と白が同じ面積あるはずである。
このようなタイルが大きな長方形を完全に覆うとすると、大きい方も黒と白が同じ面積あることになる。
したがって大きい長方形の少なくとも一つの辺は整数の長さになる。
もしそうでないとすると、大きい長方形は４つの部分に分割され、そのうちの３つの部分は黒と白が同じ
面積あるが、４番目の部分はそうでないことになる。
証明終）
この他の証明には正方形を数えるいろいろな方法、素数や多項式、ステップ関数、グラフ理論を用いるもの
などがあります。
<引用：現代数学ミステリーツアー（新曜社）>
| NO.534 | '99 6/16 | 月の光 | 連続の証明（９） |
NO.516連続の証明（４）の証明で、
|x2-4|=|(x+2)(x-2)|＜|x+2||x-2|とありますが、
ここは”＝”ではないでしょうか？
また、δ＜min(ε/8 ，√ε/2)の意味を教えて下さい。
| NO.535 | '99 6/16 | 水の流れ | サッカーのリーグ戦 |
今、サッカーのシドニーオリンピックアジア地区１次予選が行われています。
日本は５カ国のリーグ戦を戦っています。
では、引き分けはないとして、起こりうる勝敗の順位表は何通りでしょう。
ちなみに、３カ国のリーグ戦の場合は２勝、１勝１敗、２敗
３チームとも１勝１敗 の２通りです。
そこで、順にチーム数増やしていきます。
４チームの場合は何通りでしょう？
６チームの場合はと考えていきます。
太郎さんは、現在の段階では地道に数えてみることにしました。
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