Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.4〜6／NO.60

ゼ−タ−関数物語を書くにあたって 「水の流れ」さんが引用したという、 Ｗ・ダンハム著「数学の知性」(現代数学社　\3500) を最近読んでみました。
天才数学者の業績はもちろんですが、その人間性がかかれていて とてもおもしろい本でした。
「天才と定理でたどる数学史」というサブタイトルがついている通り、 数学が発展してきた歴史もたどることができます。 数学を専門にしていない人にこそ読んでほしいと思います。 そうすることで、数学の持つ魅力をわかってもらえるのではないかと思います。

同じ著者にもう１冊著作があるということで、今それを読んでいます。
「数学の宇宙」(現代数学者　\3500)です。 「Arithemetic(数論)」から始まって、「Z(Ｚ)」までアルファベット順に いろいろな話がでてきます。 もちろん数学の話ではありますが、それにまつわるエピソ−ドやetc.がなかなか おもしろいのです。
基本的にはどこから読んでもいいわけで、 私はやっぱり「Prime Number Theorem(素数定理)」から読みました。

オイラーの「無限解析入門（１）」の第７夜の始まり、始まり。
前夜、ガンマ関数Γ（ｓ）の話をしましたね。 もう一度、書いておきます。

を言います。

さて、いきなりですが、今夜の宿題です。
次の関数が、ゼーター関数ζ（ｓ）の積分における表現になっていること を示してください。

皆さん、この積分をしてみてください。今夜は短いお話でした。

コロキウム室は人間的歓喜を呼び起こす何かがあります。 この６月１日で３年目に入り、おめでとうございます。
さて、＜未だ見ぬ偉大な数学者たち＞へ、
これから、数の不思議（神秘）を研究するために、 あなたは青春をかけてみてください。
現在までに、先代の数学者が青春をかけて、没頭した美しい未解決な 問題を順に紹介します。

第１話：「素数の数列の一般項」と「メルセンヌ素数」

　２，３，５，７，１１，１３，１７，・・・

1. 第ｎ番目の素数をｎで表せたら、どんなに素晴らしいことでしょう？
   
   
2. 与えられた素数の、次の素数を求める式を発見できたら？
   

＜参考文献：１．新数学辞典（大阪書店）
　　　 　　　 ２．素数の不思議：好田順治著（現代数学社）＞

オレンジの問題について

４人で分ける場合、８で割った余りで場合分けすると オレンジを半分にしなくても分けることができます。
４人の分け前を（ａ、ｂ、ｃ、ｄ）で表すことにします。
分け方の例１

余り	分け前
１	(１，０，０，０）
２	(１，１，０，０）
３	(１，１，１，０）
４	(１，１，１，１）
５	(１，１，１，２）
６	(１，１，２，２）
７	(１，２，２，２）

このようにすれば、各人がもらうオレンジの期待数は同じになります。 なお、以下のようにすると、個数ごとのもらう確率も同じになります。
分け方の例２

余り	分け前
１	（１，０，０，０）
２	（０，２，０，０）
３	（０，０，２，１）
４	（１，１，１，１）
５	（２，１，１，１）
６	（１，１，２，２）
７	（２，２，１，２）

なお、例１の方法は一般の偶数で可能ですが、例２の方は不明です。

オレンジの問題についての 「数楽者」さんのコメント(NO.508)を読んで、びっくり！
４人で分ければ、剰余の可能性は０，１，２，３の４とおりと考えるのが当然ですよね。 しかしながら、追加分配するオレンジ期待値を平等にし、しかもオレンジを切らずにすむように、 あえて「８」(もちろん４の２倍)の剰余で考えるとは・・・！！！　 発想の転換とはこのことですね。
余りが４個以上のときに、それぞれ最低１個を保証するような分配を考えれば、 結果も同じことですしね。

昨日友達にこんな問題を聞かれました。

とする。 ｘが無理数のとき、f(x)が連続であることを証明せよ。

僕はこう考えました。

どうしたらいいでしょうか。

追加

第１７回数学的な応募問題

太郎さんが勤務している学校で先日、バーレーボール大会がありました。 ６人制バレーボールでは、毎回の勝負はサーブ権を持ったチームのサーブで 始まり、ここで勝った方が次回のサーブ権を得る。 またこのとき勝った方がサーブ権を持っていた ならば１点を得点するが、サーブ権を持っていなかったらば、 単にサーブ権を獲得するだけで得点はしない。

第１試合、両チーム間の各回の勝率は、 サーブ側であるか否かに関係なくＡが４割、Ｂは６割であるとする。 Ａのサーブで試合が開始されたとして、次の問に答えよ。

問題１．先に１点を得点するのがＡである確率を求めよ。

問題２．先に２点を得点するのがＡである確率を求めよ。

第２試合、両チーム間の各回の勝率は、サーブ側であるか否かに関係なく Ａが５割、Ｂは５割であるとする。 Ａのサーブで試合が開始されたとして、次の問に答えよ。

問題３．先に１点を得点するのがＡである確率を求めよ。

問題４．先に２点を得点するのがＡである確率を求めよ。

問題５．先に３点を得点するのがＡである確率を求めよ。

太郎さんも童心にかえって、バレーボールを楽しんでいましたが、 サーブ権の移動だけで、なかなか得点できないことがあることが、 気になってしかたがありません。 皆さんも、考えてください。　

NO.463タイルの問題 の積分を用いた解答です。

xy平面上の第1象限のカドに（原点の直交している２線に重なるように） 置いた長方形

R = {(x, y) : 0≦x≦b, 0≦y≦d}

が、一辺の長さが整数であるようなn個の長方形タイルR_i, i = 1,2,...,nで 敷き詰められていたとする。
ここで、 R_i = {(x, y) : a_i≦x≦b_i, c_i≦y≦d_i}

とすると、(b_i - a_i)か(d_i - c_i) のいずれか一方は整数である。
ここで、R上でのsin(2πx), sin(2πy)の2重積分を考える。

また、、(b_i - a_i)か(d_i - c_i) のいずれか一方は整数であるので、

また、それぞれのiでも0である。すなわち、(1)の右辺では結果 0 + 0 + 0 +....となり、0である。
よって、(1)は

であるので、bまたはdが整数である。(q.e.d.)

この積分の方の解答は、sinを使うところが見事ですよね。感動です。

この問題はきっちりいかないといけないかなと思います。
まずは、連続性の定義から

逆に連続でない例をあげましょう。

つまり x=0で不連続です。

もう１つ例を上げます。

これは、すべての整数値で不連続です。
例えば、ｘ＝１において連続でないことを示します。

ですから、f(1)=1と一致するかどうか議論する以前の問題です。
(厳密にいえば、左極限と右極限が一致して初めて極限の存在がいえることになります。)
右極限と関数値は一致していますけれどね・・・それだけではだめなのです。
この続きはまた次回・・・。

あっさり答を披露してしまうとおもしろくないので、 少々遊んで(失礼!)みます。

月の光さんがNo.511に示した「連続性の証明」は、 次の命題が成り立つことを前提としています。

命題A

f(x) を関数、a を f(x) の定義域に属する実数とする。 単調増大で a に収束する数列 { S_n } と、 単調減少で a に収束する数列 { T_n } を適当に選ぶことによって、 数列 { f(S_n) }、{ f(T_n) } の両方が f(a) に収束するようにできるならば、 関数 f(x) は x = a で連続である。

それなら、No.511の証明を次のように修正すればよいことになります。

a を無理数とする。 S_n = a - 1/10ⁿ, T_n = a + 1/10ⁿ とすると、 数列 { S_n }, { T_n } は、 それぞれ単調増大、単調減少で、いずれも a に収束する。 しかも、すべての n について、 S_n, T_n は無理数なので、 f(S_n) = f(T_n) = 0 = f(a) である。 したがって、命題Aにより、関数 f は x = a で連続となる。

命題B

関数 f(x) を、 「x が有理数のとき f(x) = 1、x が無理数のとき f(x) = 0」 と定義する。 このとき、f(x) はすべての点において連続である。

何かおかしいと思いませんか?
ちょっと考えればすぐわかることですが、実は、 命題Bの関数 f は、 「いたる所『不連続』な関数」の典型的な例なのです(ディリクレ関数といいます)。

そういうわけで、 月の光さんの証明が正しくないことの本当の理由は、 もっと根本的なところにあるのです。 「m/n は既約分数」云々というのは、細かい技術的な問題であって、 本質的ではありません。

実は、 No.511の関数の(無理数の点における)連続性を証明するには、 「関数が連続であるとはどういうことか」という、 大学教養課程の解析学の基礎知識が本質的に必要になるのです。

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