Weekend Mathematicsコロキウム室テーマ別 /15.ゼーター関数物語1



コロキウム室(ゼーター関数物語・その1)


NO.336    '99 2/15    水の流れ     ゼーター関数物語(1)
  

「数学の知性」W.ダンハム著:中村由子訳(現代数学社) 読んで、これからゼター関数ζ(2)物語を投稿します。

「時は、17世紀後半ヨーロッパ大陸のフランスのパリにドイツの外交官 として、派遣されていたライプニッツ(1646〜1716)がいました。
幸運なことに、当時ドイツの科学者ホイエンス(1629〜1695)は パリに在住していました。このホイエンスに数学の勉強を教わっていました。
さて、このときの問題です。
みなさんは三角数をご存じですか?1,3,6,10,・・・ と三角形になるように配置したときの数字です。
では、その三角数の逆数の和を求めてください。
すなわち、S=1+1/3+1/6+1/10+・・・・ のSの値を求めてください。」

<注: 実は、この解法がライプニッツのパリ在住4年間(1672〜1676) の数学的洞察力を開花させるきっかけとなったものです。>



NO.338    '99 2/16    みや       ゼーター関数物語(2)
  






NO.339    '99 2/16    水の流れ     ゼーター関数物語(3)
  

ゼター関数ζ(2)物語を第2夜を送ります。
「17世紀後半、1684年、ライプニッツは学術誌 「Acta Eruditorum]に 素晴らしき微分学を発表しました。
ライプニッツは1716年亡くなりましたが、 この後継者である二人のスイス人の兄弟はヨーロッパ中に微分を広め、 定着させる大きな力になりました。
兄ヤコブ・ベルヌーイ(1654〜1705)は確率論で知られています。
弟ヨハン・ベルヌーイ(1667〜1748)は兄ヤコブが1689年 発表した「無限級数に関する論文」の中に ”調和級数は無限大に発散する”ことを証明しています。
ここで、問題です。

調和級数 1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・・・は無限大に発散する。

皆さんは、これを現代風にでも結構ですので、証明してください。
後で、ヤコブ著「tractatus」(1713年) の中での発散の証明を書きます。今日はここまです。




NO.343    '99 2/18    Junko     ゼーター関数物語(4)
  






NO.344    '99 2/19    水の流れ     ゼーター関数物語(5)
  

「ゼター関数ζ(2)物語第3夜の始まり、始まり。
見事に、調和数列 1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・ が無限大に発散する証明が終わりました。
ところが、弟ヨハン・ベルヌーイは兄ヤコブ著「tractatus」の中で、 ライプニッツの収束する級数
1/2+1/6+1/12+1/20+・・・=1
を利用して、こんな風に書いています。

<証明> 最初の項を省いて、調和数列を
A=1/2+1/3+1/4+1/5+・・・  とおく。
さらに、後に参照するために、分子が1,2,3,4,・・・ となるよう変換しておきます。
すると、 A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+・・・
ライプニッツの収束する級数をCとおき、それから順次
1/2、1/6、1/12、1/20、・・・ を省きながら一連の級数を作ります。

C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+・・・=1
D=1/6+1/12+1/20+1/30+・・・=C−1/2=1/2
E=1/12+1/20+1/30+・・・=D−1/6=1/2−1/6=1/3
F=1/20+1/30+・・・=E−1/12=1/3−1/12=1/4
G=1/30+・・・=F−1/20=1/4−1/20=1/5
・・・

ここで、ヨハンは上の整然と並んだ式の式を左から順に縦に足してみます。
すると

C+D+E+F+G+・・・

=1/2+(1/6+1/6)+(1/12+1/12+1/12)+ (1/20+1/20+1/20+1/20)+・・・
=1/2+2/6+3/12+4/20+・・・
=A
皆さん、何か気がつきましたか。 先にあげた式とまったく同じものになっています。
C+D+E+F+G+・・・=1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・
             =1+A
であることがわかります。
したがって、もう読者の皆さんはお分かりでしょう。
ヨハンは 1+A=A であると結論しています。
彼自身それを”全体が部分に等しい”と書いています。
これは、それ自身より1大きい数に等しい有限な数などありませんから、 1+Aは無限の数量であるということです。 彼の論証はこれで完了します。
先のjunkoさんの証明方法に照らしても実にユニークな方法です。
さて、この調和級数の発散になる証明はヨハンが最初ではありません。 それよりの早く、少なくとも二人の数学者がこの発散の証明をしています。 もっとも早かったのは14世紀のフランスの数学者ニコル・オレスム (1323〜1382)でした。 彼の証明は調和数列の本質に迫るもので、 とても信じられない素晴らしい証明です。
そこで、彼が証明した問題です。 ただ、今風にアレンジしました。
『任意の整数をkとして、
 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/2>(k+1)/2』
皆さん、ニコル・オレスムと同じ証明になるでしょうか? もし、そうなら数学的真理の普遍性を実感します。
果たして、どうでしょうか。これで、第3夜は終わります。 ああー、睡魔が現れて、眠むくなりました。お休みなさい。」



NO.346    '99 2/19    みや     ゼーター関数物語(6)
  

調和級数が発散することの証明です。



この証明はあっているかどうか自信はありません。 シグマから積分に変形しているあたりが怪しいです。



NO.348    '99 2/20    Junko     ゼーター関数物語(7)
  







NO.350    '99 2/21    Junko     ゼーター関数物語(8)
  







NO.351    '99 2/21    水の流れ     ゼーター関数物語(9)
  

「ゼーター関数ζ(2)物語第4夜の始まり、始まり。
昨夜、こんな問題を出したままでしたね。
『任意の整数をkとして、
 1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/2>(k+1)/2』
皆さん、ニコル・オレスムと同じ証明になるでしょうか? もし、そうなら数学的真理の普遍性を実感します。 実は、ニコル・オレスムの証明と同じことが、6世紀後でも、 「Junko」さんが NO.343で証明しています。 数学的真理の神秘に驚いています。

さて、ヨハン・ベルヌーイはもう1人の数学者イタリアの ピエトロ・メンゴーリにも先を越されています。 メンゴーリの証明は1647年、ベルヌーイの証明の40年 ほど先立つものでした。
これは実にシンプルな証明ですが、まず最初に前提になる定理が出てきます。

第4夜の問題です。皆さん、解いてみてください。
『任意の整数をkとして、
 1/(k−1)+1/k+1/(k+1)+>3/k である』
この定理は3個の連続する整数の逆数を足したとき、 その和は真ん中の数の逆数の3倍より大きいという問題です。
これが、メンゴーリが1647年に行った短い証明の 中で調和級数への挑戦に必要な定理でした。」



NO.355    '99 2/22    みや      ゼーター関数物語(10)
  





NO.356    '99 2/22    Junko     ゼーター関数物語(11)
  





NO.357    '99 2/23    水の流れ     ゼーター関数物語(12)
  

「ゼーター関数ζ(2)物語第5夜の始まり、始まり。
さて、前提になる定理も無事証明出来ました。 ここで、1647年に行ったメンゴーリの証明を紹介します。



といった具合に続いていきます。
メンゴーリの論証の美しさは自己複製していくところにあります。 ステップごとに先行条件の定理を適用し、 新たに同じような調和数列に出会うことになりますが、 そのときは1増えているというわけです。
上に揚げた不等式を見ると、Hは1より大きく、 2より大きく、3より大きくなっていて、 実際にこの手順を繰り返していkrば、たとえどんな有限数を 設定してもHはそれをしのぐ数であることが分かります。
そういうわけで、ヨハンの偉大なる定理は証明方法は異なるにしてもオレスム、 メンゴーリの後塵を拝していたわけです。

さて、【数学の知性】という本から離れますが、 よく見かける次の無限級数の値を覚えていても有意義なことです。
『次の無限級数の値を証明してみてください。 <今夜の問題ではありませんが>


それでは、物語にもどります。 ヤコブはまた「tractatus」において、 この調和級数を前提に 整数を2乗したものの逆数の和にも触れています。すなわち、


では、今夜の問題です。 ヤコブはこの級数が2より小さいことは分かっていました。

『 1+1/4+1/9+1/16+・・・<2 を証明しましょう。』

この値は1734年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで数学を学んだ一人の 若者によって解決されることになります。 この続きは、明日の夜お話しましょう。お楽しみに! 」 終わり



NO.361    '99 2/24    Junko     ゼーター関数物語(13)
  

NO.357






NO.363    '99 2/24    月の光     ゼーター関数物語(14)
  

NO.357の(1)(3)の証明です。







NO.364    '99 2/24    Junko     ゼーター関数物語(15)
  

NO.357の(1)だけなら、 NO.363におけるlog(1+x)のテイラ−展開において、
x=1を代入することで得ることができますね。



NO.365    '99 2/24    みや     ゼーター関数物語(16)
  







NO.367    '99 2/25    月の光     ゼーター関数物語(17)
  







NO.368    '99 2/25    水の流れ     ゼーター関数物語(18)
  

「ゼーター関数ζ(2)物語第6夜の始まり、始まり。
昨晩、こんな証明を出しましたね。皆さんは容易に証明できましたね。
『 1+1/4+1/9+1/16+・・・<2 を証明しましょう。』
この結果、一般に数列a(n)について、単調増加で上に有界な数列は 収束しますから、ヤコブは何らかの有限な数に収束することを示しましたが、 ベルヌーイ兄弟にはその和の正確な値を出すことはできませんでした。
ヤコブは”今もって私たちの必死の探求の目をかいくぐっている、 その答えを教えてくれる人があるならば、私たちは多いに感謝する・・・” と言い訳をしています。
ベルヌーイ兄弟は何もアイデアももっていませんでした。 それどころか、かのライプニッツ その人さえ明らかに手に負えない問題だったのです。
この級数、1+1/4+1/9+1/16+・・・の正確な和を求める問題は大変 難解で、捕まえどころのない数値を出すためにはベルヌーイ兄弟以上の 天才的能力が必要でした。
面白いことに、この問題は1734年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで 数学を学んだ一人の若者によって解決されました。
その生徒こそ、偉大なるレオンハルト・オイラーその人でした。
この驚異的な人物は1707年、スイスのバーゼルに生まれました。 当然ながら、幼いときからのその天才ぶりを発揮し、 牧師である父親は息子をあの高名なヨハン・ベル ヌーイのもとで学べるように奔走したのでした。 1727年、オイラーはロシアのセントペテルスブルグ大学に 医学と生理学のポストに就きました。 その後、1733年、ついにオイラー にも数学教授の椅子が巡ってきました。 不幸なことに1730年代の中頃から右目の視力が 落ち始め、まもなくまったくみえなくなってしましました。
オイラーがセントペテルスブルグ大学での初年度、 1734年に発表したのがゼーター関数
ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+・・・の値でした。
 このとき、彼はこう語っています。 ”・・・私は予想もしなかったエレガントな式を発見した。 ・・・それもπを用いてのものである。

オイラーの偉大なところは同じ式を2種類の方法で表現して、 結びつけるところにあります。
どこまでも異なる2つの見地から1つの目標を見出していく能力が、 彼の最も深遠で美しい論証を特徴づけています。
さて、ここで、第6夜の問題です。
手始めに、次の無限級数と無限積が等しいことを証明する必要があります。



ただし、右辺はすべての素数pにわたる無限積を表します。 この感覚をつけておかないと、随所にでてきます。
今夜はこれで終わりです。ちなみに、上のことが分かった人はNO.359の 「素数の逆数の総和」の証明は容易にできるでしょう。



NO.369    '99 2/25    みや     ゼーター関数物語(19)
  







NO.373    '99 3/1    Junko     ゼーター関数物語(20)
  





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