Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.43
NO.357 '99 2/23 水の流れ ゼーター関数物語（１２）
「ゼーター関数ζ（２）物語第５夜の始まり、始まり。
さて、前提になる定理も無事証明出来ました。
ここで、１６４７年に行ったメンゴーリの証明を紹介します。
といった具合に続いていきます。
メンゴーリの論証の美しさは自己複製していくところにあります。
ステップごとに先行条件の定理を適用し、
新たに同じような調和数列に出会うことになりますが、
そのときは１増えているというわけです。
上に揚げた不等式を見ると、Ｈは１より大きく、
２より大きく、３より大きくなっていて、
実際にこの手順を繰り返していｋｒば、たとえどんな有限数を
設定してもＨはそれをしのぐ数であることが分かります。
そういうわけで、ヨハンの偉大なる定理は証明方法は異なるにしてもオレスム、
メンゴーリの後塵を拝していたわけです。
さて、【数学の知性】という本から離れますが、
よく見かける次の無限級数の値を覚えていても有意義なことです。
『次の無限級数の値を証明してみてください。
＜今夜の問題ではありませんが＞
それでは、物語にもどります。
ヤコブはまた「ｔｒａｃｔａｔｕｓ」において、
この調和級数を前提に
整数を２乗したものの逆数の和にも触れています。すなわち、
では、今夜の問題です。
ヤコブはこの級数が２より小さいことは分かっていました。
『 １＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＜２ を証明しましょう。』
この値は１７３４年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで数学を学んだ一人の
若者によって解決されることになります。
この続きは、明日の夜お話しましょう。お楽しみに！ 」 終わり
NO.358 '99 2/23 月の光 1999!の桁数（７）
NO.359 '99 2/23 月の光 素数の逆数の総和
調和級数が発散する事は示されましたが、
素数の逆数の総和はどうでしょうか？
素数が無限に存在する事をまず示してから考えてみて下さい。
NO.360 '99 2/23 Junko 2000年問題？（３）
NO.361 '99 2/24 Junko ゼーター関数物語（１３）
NO.362 '99 2/24 Junko 正四面体の問題
16日に実施された神奈川県立高校の入学試験に出された問題です。
右の図は、１辺の長さが6cmの正四面体ＡＢＣＤの展開図である。
３点、Ｐ，Ｑ，Ｒは、それぞれ正四面体の辺ＡＣ，ＤＡ，ＤＢ上の点であり、
ＡＰ：ＰＣ＝ＤＱ：ＱＡ＝ＤＲ：ＲＢ＝２：１である。
このとき、この展開図からつくられる正四面体について、
次の問いに答えなさい。
（ア）この正四面体ＡＢＣＤにおいて、２点Ａ，Ｒ間の距離を求めなさい。
（イ）３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面でこの正四面体ＡＢＣＤを切り、
２つの立体に分けるとき、切り口の図形のすべての辺を、
解答用紙にある展開図に書き入れなさい。
ただし、解答用紙にある展開図の辺上の印「・」は、
それぞれの辺を３等分する点を示している。
NO.363 '99 2/24 月の光 ゼーター関数物語（１４）
NO.357の(1)(3)の証明です。
NO.364 '99 2/24 Junko ゼーター関数物語（１５）
NO.357の(1)だけなら、
NO.363におけるlog(1+x)のテイラ−展開において、
x=1を代入することで得ることができますね。
NO.365 '99 2/24 みや ゼーター関数物語（１６）
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