コロキウム室

先月のまきの問題に関して質問（意見かな）のメールを送らせて頂きます。
１２月の問題文にはストーブを木無君が使用したとしか書いておらず、ふたりの婦人が共同ス トーブを使用したかどうか不明です。
「浜田　明巳」さんが指摘しているように、この問題を解くうえで一番重要なのは 使用時間だと思います。
NO.671 「タクシーの相乗り」問題 の場合は各々乗車時間が明確なので問題ありませんが、 この問題では３人がストーブを同時間使用したと云う条件での 解答が求められているような気がします。
一般的な解答は以下のようになるのではないでしょうか （ただし、三木さん、五木さんの提供したまきは同じなど、細かい点は全て同じと仮定して）。

三木さんの使用時間　a 、五木さんの使用時間　b、木無君の使用時間　 c とする （だたし、a,b,cはまき８本の燃焼時間を越えず、cは０でない）。
木無君は使用時間 c に対して、８コペイカを払ったので、時間当たりの使用料金は8/c。
よって、三木さんは8a/c、五木さんは8b/c を支払はなければならず、合計金額は
8a/c + 8b/c + 8 = 8(a + b + c)/c　
まきによる取り分は 三木さん 8(a + b + c)/c x 3/8 = 3(a + b + c)/c
五木さん 8(a + b + c)/c x 5/8 = 5(a + b + c)/c

よって、最終的な取り分は三木さん 3(a + b + c)/c - 8a/c = (3b + 3c -5a)/c
五木さん 5(a + b + c)/c - 8b/c = (5a + 5c -3b)/c　となる。
３人が同じ時間だとすると（a=b=c)、 三木さん　１コペイカ、五木さん　７コペイカ
木無君のみ使用したとすると（a=b=0) 三木さん　3コペイカ、五木さん　5コペイカ
五木さんが使用せず、三木さんが木無君の倍使用したとすると（a=2c, b=0)、 三木 さんも五木さんに７コペイカを払わなければなりません。

「まきの問題」の解答では、 「3:5に決まってるじゃん。」という考えがあっさり否定されていますが、 私は、「1:7」だけでなく、 「3:5」もこの問題に対する一つの正解たり得ると考えています。

結論から言うと、 問題文によって与えられている条件だけでは、 「1:7」という解を導くための仮定が不足しているのです。

(問題その1)
ある昼下がり、三木さん、五木さん、木無くんの3人が、 それぞれの昼食の調理のために、共用ストーブのある台所に集まってきました。
三木さんは3本、五木さんは5本のまきを持っています。 木無くんは自分のまきを持っていません。
そこで、三木さんは3本のまき、五木さんは5本のまき、 木無くんは8コペイカを供出して、ストーブの火を共用することにしました。
三木さんと五木さんは、 木無くんから与えられた8コペイカをどのように分ければよいでしょうか。

(問題その2)
ある昼下がり、三木さんが昼食の調理のために台所に来て、 ストーブに3本のまきを入れて料理を始めました。
そこに五木さんがやって来て、ストーブに5本のまきを入れて、 三木さんに続いて料理を始めました。
二人が料理を終える頃に、木無くんがやって来ました。 彼は自分のまきを持っていませんが、 三木さんと五木さんにストーブの火を使って料理をする許しを得て、 そのお礼として、二人に8コペイカを与えました。
二人はこれをどのように分ければよいでしょうか。

• 三木さん、五木さん、木無くんの3人は、それぞれの金品を供出する時点で、 「最終的には3人の間で負担の公平が図られる」ことを前提としている。
• 木無くんの支払った8コペイカという金額は、 ストーブに供給されたまきの価格を反映して決められた(または、 事後的にそのように推定されるべき)ものである。

• 三木さんが3本、五木さんが5本のまきを供給したのは、 2人がそれぞれ自発的に(自ら納得して)決定した結果である。 したがって、その差分については、2人の間で調整を行う必然性はない。
• 木無くんの支払った8コペイカという金額は、 まきの価格を反映しているとは限らない。
• 8コペイカをどのように分けるかは、 三木さんと五木さんの間の問題である。

要するに、「3本」「5本」「8コペイカ」という金品の供給量を、 「3人の合意のもとに定まった結果」と考えるか、それとも、 「3人がそれぞれ自発的に決定した結果」と考えるかよって、 問題に対する見方は変わるわけで、 「1:7」という解は、完全に前者の解釈に立脚しているのです。

一般に、この手の「数理パズル」においては、 出題者の想定する解を導くためには、問題中に明示的に示されている条件以外に、 ある程度「暗黙の仮定」を必要とするものです。 したがって、「暗黙の仮定」の部分に解釈の幅があると、 解は必ずしも一意に定まらなくなります。
かといって、解釈の幅を狭めるために問題文中の条件を増やすと、 こんどは単なる「算数の問題」になって、 頓知を働かせる面白みを失ってしまいます。
そのあたりのさじ加減が、出題者の腕の見せ所といえましょう。

「まきの問題」については、その「さじ加減」を誤ったために、 解釈に多義性が生じていて、数学の問題としては破綻しているのではないか? というのが、私の考えです。
オリジナルの問題文が数理パズルとして意味を持つためには、 どうしても「その1」のように解釈しなければなりません。 しかし、私にとっては、「その2」の解釈は十分自然なもので、 むしろ「その1」のほうが恣意的な解釈のように思えてしまいます。

（はじめに）
代数方程式の代数的解法シリーズ(テ−マ別の部屋)では体と群について、特に群は基本とはいえ、やや 深く理論を展開しました。これから気楽に群や体とは一味違った「環」について、紹 介したいと思います。

２０００年になって、いろいろな問題が取り立たされているようですけど、さしあ たって興味ある問題はやはり代数方程式の代数的解法についてなのですが、体と群に よく似ている概念である環は実はその理論が現代語で展開されてからまだ１００年も たっておらず、そのためか極めて抽象的です。抽象的とは自由という言葉と表裏一体 なのですが、あまりに自由すぎて我々の常識をはみ出している感があり、自分が納得 するまでは多少の忍耐が必要かもしれません。（書道などの作品がなかなか理解され ないのと似ているかもしれません） しかし、とはいっても、やはり面白いものであると思います。まずは環の定義を書い ておきましょう。

（定義）
集合Rが環であるとは、R≠φであって、写像ｍとｎが次のように与えられているとす る。

ｍ：R×R → R
ｎ：R×R → で対応は次の通り
ｍ（（a、ｂ））＝a＋ｂ
ｎ（（a、ｂ））＝aｂ
（このｍをR上の足し算（あるいは和）、ｎをR上の掛け算（あるいは積）という）
そして、次の４つの性質を満たす。

1. Rは＋でアーベル群
2. a（ｂｃ）＝（aｂ）ｃ
3. a（ｂ＋ｃ）＝aｂ＋aｃ
   （a＋ｂ）ｃ＝aｃ＋ｂｃ
4. Rの中には１（いち）と呼ばれる特別な元があり、a１＝１a＝aを満たす。 この１を単位元という。
   （ただし∀a、b、ｃ∈Rで１≠０を仮定する）

（定義）
Kが環Rの部分環であるとはK⊆Rであって、次の３つを満たすものとする。

1. K≠φ
2. ∀a、ｂ∈K⇒a＋ｂ、aｂ、−a∈K
3. １∈K　　（ただしこの１はRの１。つまりKはRの単位元を共有する）

さて、ここで環写像の例を２つほど挙げてみます。それぞれ確かめてみてください。

（例１）
ｆ：C → C
を複素数から複素数への写像とする。
ただし対応はｆ（a＋bi）＝a−biとする。
また、これは環同型か？

（例2）
ｆ：M（ｎ） → M（ｎ）
を成分を実数とするｎ次正方行列の集合から、その集合への写像とする。
ただし対応はｆ（A）＝P^‐AP
（P∈M（ｎ）でその行列式が０でないとする。P^‐はPの逆行列）
環写像（準同型写像）について忘れた方は 代数方程式の代数的解法シリーズの（３）を見てくださ い。
さて、環写像を用いて環の内部にある部分集合を定めることができます。

（定義）
ｆ：R → Sを環写像とする。Ker（ｆ）とIm（ｆ）を次で定義する。
Ker（ｆ）＝｛a∈R｜ｆ（a）＝０｝
Iｍ（ｆ）＝｛ｆ（a）∈S｜a∈R｝

さあ、この定義を吟味してみましょう。
Ker（ｆ）というのは言葉でいうとｆで移し て０∈Sへ行くようなRの元の集合という事ですね。
Iｍ（ｆ）はRの元の像の集合という事でしょう。 このIｍ（ｆ）をｆ（R）とも書きます。 どちらでも自分にあった方を 使ってください。人によってはｆ（R)の方がイメージが湧くかもしれません。
代数方程式の代数的解法シリーズの（２） で写像の種類について定義しました。
単射、全射、全単射でし たが、上のKer（ｆ）とIm（ｆ）を用いて、単射と全射の定義を改良しましょう。
すぐにわかる事ですが、ｆが全射⇔Im（ｆ）＝Sということです。
これは代数方程式の代数的解法シリーズの（２）で定義した全射の定義と同値です。
また、ｆが単射⇔Ker（ｆ）＝｛０｝が成り立ちます。
これは少しわかりずらいかもしれませんが、定義（ルール） に従って考えていけば簡単です。

（Ker（ｆ）＝｛０｝⇔ｆが単射の証明）
まずKer（ｆ）＝｛０｝を仮定する。この仮定のもとにｆが単射である事を示す。 定義に従いｆ（a）＝ｆ（ｂ）とする。 するとｆ（a）−ｆ（ｂ）＝０であるから、ｆ は環写像なのでｆ（a−ｂ）＝０であり、Ker（ｆ）の仮定からa−ｂ∈Ker（ｆ）である。 よっていまKer（ｆ）＝｛０｝と仮定しているのだからa−ｂ＝０であり従ってa ＝ｂを得る。ゆえにｆは単射。
今度はｆが単射である事を仮定してKer（ｆ）＝｛０｝を示す。 ∀aをKer（ｆ）からとってこれが０である事をいえば題意は満たされる。 ∀a∈Ker（ｆ）を取ってくればKer（ｆ）の定義からｆ（a）＝０でである。いまｆは 環写像なのだから、
ｆ（０）＝０　・・・・・（１）
である。よってｆ（a）＝ｆ（０）で仮定よりｆは単射であるからa＝０．従って任意 のKer（ｆ）の元は０ということなのでKer（ｆ）＝｛０｝
さて、この証明の中にある（１）について考えてみましょう。ｆが環写像ならばほん とに０が０へ移るのでしょうか？
環Rは和でアーベル群でした。 ですから、a＋０＝０＋a＝aが任意のRの元aについて成り立ちます。 この式をｆでそれぞれ移して見ましょう。すると
ｆ（a＋０）＝ｆ（０＋a）＝ｆ（a）
です。さらにｆは和を和に移すので（なぜならばｆは準同型写像なので）
ｆ（a）＋ｆ（０）＝ｆ（０）＋ｆ（a）＝ｆ（a）・・・・（２）
となります。aはRの任意の元だったのでｆ（a）もSの任意の元としてもいいでしょ う。（多少乱暴な言い方ですが）
してみると上の（２）の式をよく見てみるとｆ（０）はS内で０の役割をしていますよね。 任意のｆ（a）∈Sを和で変化させていないのですから。 つまりｆ（０）＝０です。これで証明のなかの（１）がいえました。
それから、Ker（ｆ）はカーネルエフと読んで、Im（ｆ）はイメージエフと読みます。 これが一般的な呼び名とされているようです。しかし英語で書かれた本を読むと いろいろと書いている人によって呼び名が（ほとんど統一されているとはいえ）微妙 に異なっている事があります。注意してください。
またIm（ｆ）はSの部分環となっています。確かめてみてください。
ただしKer（ｆ）はRの部分環にはなっていません。これもその理由を考えてみてください。 最後に問題を出しておきましょう。なかなかの良問です。

（問題）
R〜Sは環RとSが環同型で結ばれているという事でしたが、この〜はある集合上の同値 関係になっています。それがどんな集合かを決定し、〜が同値関係になっている事を 確かめてください。
解けても、解けなくても構いません。自分の頭を頼りにあれこれ創造してみてくださ い。
次回は環構造を解析するうえで欠かす事のできない「イデアル」について考えてみま しょう。

第４２回数学的な応募問題

太郎さんは、子供の頃、正月によくトランプ遊びをしました。 そこで、こんな問題を作ってみました。
５２枚のトランプのカードを上から順に積んであります。 これを、次のような規則でシャッフルします。

『規則：上から２６枚目を左組とし、上から２７枚目から５２枚目を右組とし、 １回シャッフルしたあとの新しいカードの順番が上から、 左組の１枚目、右組の１枚目、左組の２枚目、右組の２枚目、・・・、 左組の２６枚目、右組の２６枚目、となるように左組と右組を交互に重ねていく。』　

ここで、分かり易くするために、最初のトランプを上から順に １番，２番，３番，・・・，５１番，５２番と番号を付けておきます。さて、

問題１：
１回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。

問題２：
２回のシャッフルによって、２０番と３５番のカードは、新たに上からそれぞれ何枚目にありますか。

問題３：
一般に、ｎ回のシャッフルによって、最初のｋ番のカードは、新たに上から何枚目にありますか。

問題４：
何回かのシャッフルによって、すべてのカードが元の順番になりました。 この最小のシャッフル回数を求めてください。

太郎さんは、早速トランプを持ち出して、このような規則性のあるシャッフルを繰り返して、 帰納的に求めていこうと思っています。

少し古いですが，エクセルのマクロでプログラムを作りました．
結果は次の通り．試行回数を１万回とした場合，

問題１：Ａ，Ｂの勝つ確率がそれぞれ
　0.4835　0.4396

問題２：Ｂ，Ｃの勝つ確率がそれぞれ
　0.4707　0.4466

問題３：Ｃ，Ａの勝つ確率がそれぞれ
　0.4758　0.4463

つまりＡはＢよりやや強く，ＢはＣよりやや強く，ＣはＡよりやや強い訳です．
また引き分けの確率は0.08前後と低く，勝負がつきやすいという特徴もあります．

Option Explicit
Sub Macro1()
 Dim s(3, 6), shikou_kaisuu, j1, j2, j3 As Integer
 s(1, 1) = 1: s(1, 2) = 3: s(1, 3) = 5: s(1, 4) = 6: s(1, 5) = 7: s(1, 6) = 8
 s(2, 1) = 2: s(2, 2) = 3: s(2, 3) = 4: s(2, 4) = 5: s(2, 5) = 7: s(2, 6) = 9
 s(3, 1) = 1: s(3, 2) = 2: s(3, 3) = 4: s(3, 4) = 6: s(3, 5) = 8: s(3, 6) = 9
 shikou_kaisuu = 10000
 Dim kachi As Single
 Randomize Timer
 Cells(1, 1).Value = "試行回数"
 Cells(3, 2).Value = "サイコロ": Cells(3, 3).Value = "勝った回数"
 Cells(3, 4).Value = "確率"
 Cells(4, 1).Value = "１Ａ": Cells(5, 1).Value = "１Ｂ"
 Cells(6, 1).Value = "２Ｂ": Cells(7, 1).Value = "２Ｃ"
 Cells(8, 1).Value = "３Ｃ": Cells(9, 1).Value = "３Ａ"
 For j1 = 4 To 9: Cells(j1, 3).Value = 0: Cells(j1, 4).Value = "": Next
 For j1 = 1 To shikou_kaisuu: Cells(1, 2).Value = j1
  For j2 = 1 To 3
   For j3 = 0 To 1
    Cells(j2 * 2 + j3 + 2, 2).Value = s(((j2 + j3 - 1) Mod 3) + 1, Int(Rnd * 6) + 1)
   Next
   kachi = 3 - (Sgn(Cells(j2 * 2 + 2, 2).Value - Cells(j2 * 2 + 3, 2).Value) + 1) / 2
   If Int(kachi) = kachi Then
    Cells(j2 * 2 + kachi, 3).Value = Cells(j2 * 2 + kachi, 3).Value + 1
   End If
   For j3 = 0 To 1
    Cells(j2 * 2 + j3 + 2, 4).Value = Cells(j2 * 2 + j3 + 2, 3) / j1
   Next
  Next
 Next
End Sub

NO.717で宿題になっていました、 「∀a∈Rに対して、a０＝０a＝０」の証明をしてみようと思います。

a０	＝a(０＋０)	・・・０は加法の単位元であることから
	＝a０＋a０	・・・分配法則より

これより、「a０＝０」であることがわかります。
「０a＝０」も同様です。

NO.704 代数方程式の代数的解法（３） の中にある

（定義）
ＡとＢを共に体とする。g：Ａ → Ｂが準同型写像であるとは、gは写像で次の３つを 満たすことをいう。

1. g(a+b)=g(a)+g(b)
2. g(ab)=g(a)g(b)
3. g(1)=1 (ただし３において左辺の１はＡの１、右辺の１はＢの１）

同様に「１」において、a=0 とすると、
g(0+b)=g(0)+g(b)
g(b)=g(0)+g(b)
この式から、g(0)がＢにおいて加法での単位元の役割を果たしていることがわかります。
従って、g(0)=0（左辺の０はＡでの０、右辺の０はＢでの０です。）

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