コロキウム室(ガロア理論の心・その２)

（群の準同型定理とガロアの基本定理の後半）

Ａｒｔｉｎ先生にガロア理論を語ってもらう前に色々準備する事があります。
Aを集合としてRをその同値関係としましょう。 このとき商集合A／Rを作ることができました。
また写像ｆ：A→A／Rをｆ（a）＝C（a）で定めればこれは全射でした。 これを自然な写像といいます(natural map)。
一般に写像ｇ：A→Bを用いて集合A上に同値関係を定める事ができます。
Ｒ_ｇ：＝｛（a、ｂ）∈A×A｜ｇ（a）＝ｇ（ｂ）｝とすると、 これは明らかにA上の同値関係で、自然な写像ｆ：A→A／Rについては〜＝Rが成り立ちます。

（定理１）
Ａを空でない集合、ＲをＡ上の同値関係とし、ｆ：Ａ→Ａ／Ｒを自然な写像とする。
また写像ｇ：Ａ→Ｂ（Ｂ≠φ）は次の性質を満たすと仮定する。
ａ、ｂ∈Ａに対し、ａＲｂならばｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）…（１）
このとき写像ｈ：Ａ／Ｒ→Ｂがｇ＝ｈｆを満たすように一意的に定まる。

（証明）
まずｈがｗｅｌｌ‐ｄｅｆｉｎｅｄであることを示しましょう。
ｆが全射なのでＡ／Ｒの任意の元についてＡの元が必ず対応しています。 ですからＡ／Ｒから元Ｃ（ａ）を取れて、Ｃ（ａ）＝Ｃ（ｂ）を仮定しましょう。 すると分割の補題からａＲｂですので、（１）の条件からｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）です。 ですからｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））であってｈはｗｅｌｌ-Ｄｅｆｉｎｅｄであることがわかりました。
またこのｈが一意的に決まることを示しましょう。
それにはｈと同じ性質を満たすｈ´が存在したならｈ＝ｈ´である事を言えばいいですね。
∀Ｃ（ａ）∈Ａ／Ｒに対しｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（ｆ（ａ））＝ｈ´（Ｃ（ａ））。 よってｈ＝ｈ´です。従ってｈはｇ＝ｈｆを満たすように一意的に取れました。　　　　　（証明終わり）

（補題１）
上のｈに対しては次が正しい。すなわちｈが単射⇔Ｒ＝Ｒ_ｇ

（証明）
まずｈを単射と仮定してＲ＝Ｒ_ｇを示しましょう。
ＲやＲ_ｇは集合ですから例のごとく 「⊆」かつ「⊇」を示せば良い訳です。
上の定理の（１）はＲ⊆Ｒ_ｇを表しています。 またａＲ_ｇｂとしますと ｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）ですからｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））で、 仮定からｈは単射ですからＣ（ａ）＝Ｃ（ｂ）。 よってａＲｂです。これでＲ＝Ｒ_ｇがいえました。
次にＲ＝Ｒ_ｇを仮定してｈが単射であることを示しましょう。
ｈ（Ｃ（ａ））＝ｈ（Ｃ（ｂ））はｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）を示していますからａＲ_ｇｂです。 いまＲ＝Ｒ_ｇよりａＲｂですからＣ（ａ）＝Ｃ（ｂ）が正しく、 ｈが単射であることを示しています。　　　　（証明終わり）
このことから次のコロラリーを得ます。

（コロラリー１）
やはり上の定理のｈにおいて、もしｇが全射で、Ｒ＝Ｒ_ｇならば、ｈは全単射である。

ここでファクターグループについてやっておきましょう。 Ｇを群、Ｎをその正規部分群としたときＮがＧ上に定める２つの同値関係 Ｒ_１とＲ_２は一致しました。 Ｇ／Ｒ_１＝Ｇ／Ｒ_２ですが、 これをＧ／Ｎと書いてＧのＮによるファクターグループといいます。 すなわちＧ／Ｎ＝Ｇ／Ｒ_１＝Ｇ／Ｒ_２です。
ちなみにこのＧ／Ｎの演算は次でうまく定まります。
ａＮ・ｂＮ＝（ａｂ）Ｎ
この演算がｗｅｌｌ‐Ｄｅｆｉｎｅｄであることと、 この演算によってＧ／Ｎが群になることは皆さんに任せたほうがいいでしょう （これはぜひやってほしい。その際、単位元と逆元に特に注意してください）。
Ｇ／Ｎは群となりますから、写像ｆ：Ｇ→Ｇ／Ｎはｆ（ａ）＝ａＮで群の準同型写像になり、 全射です。これは本質的に自然な写像ですね。 このｆについては環写像の時と同様、Ｋｅｒ（ｆ）＝Ｎが成り立ちます。

（定理２）
ｇ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とし、ＮをＧの正規部分群でＫｅｒ（ｇ）に含まれるものと仮定する。 このときｈ：Ｇ／Ｎ→Ｇ´なる準同型写像がｈ（ａＮ）＝ｇ（ａ）となるように一意的に決まる。

（証明）
定理１をうまく使います。
今は同値関係としてＲ_２を採用しましょう （もちろんＲ_１でも一向に差し支えありません）。
ａＲ_２ｂとしますと、 ａｂ^‐∈ＮですからＮ⊆Ｋｅｒ（ｇ）に注意してｇ（ａｂ^‐）＝ｅ´ （ここでｅ´はＧ´の単位元） であって、ｇは準同型写像よりｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）が正しい。
よって定理１の（１）の条件を満たしたので、 ｈがｈ（ａＮ）＝ｇ（ａ）なるように一意的に決まる。
これが準同型写像であることは、 ｈ（ａＮ・ｂＮ）＝ｈ（（ａｂ）Ｎ）＝ｇ（ａｂ）＝ｇ（ａ）ｇ（ｂ）＝ｈ（ａＮ）ｈ（ｂＮ） であることに従います。もちろんａやｂはＧの任意の元です。
　　　　（証明終わり）

（コロラリー２）
ｇ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とする。
このときｈ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｇ´で、∀ａ∈Ｇに対しｈ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ） を満たす準同型写像が一意的に存在する。
特にＧ／Ｋｅｒ（ｇ）〜Ｉｍ（ｇ）である。

「コロラリーって何ですか？」という質問を受けた事があります。
「コロラリー」とは「系」のことです。 つまりある結果（定理）が得られた際、そこからすぐに導かれる「副産物」といえます。 ですからコロラリーの証明は省かれるのが普通です。
僕もコロラリーの証明は暗黙のうちに皆さんに任せている事が多いです。 でも、上のコロラリー２の証明はなかなか得るところが多いのでやっておきましょう。

ところで、群の準同型写像ｆ：Ｇ→Ｇ´において、 Ｋｅｒ（ｆ）：＝｛ａ∈Ｇ｜ｆ（ａ）＝ｅ´｝です。

（コロラリー２の証明）
まず、Ｋｅｒ（ｇ）がＧの正規部分群であることを示しましょう。
Ｋｅｒ（ｇ）＝Ｎとおきますと、∀ａ∈Ｇに対して、 ａＮ＝Ｎａを示せばいいということですが、 一般にＧを群としＮをその正規部分群とすると次の補題が成り立ちます。

（補題２）
ＮがＧの正規部分群⇔ａＮａ^‐⊆Ｎ（∀ａ∈Ｇ）
この補題をまず示しましょう。
ＮをＧの正規部分群と仮定します。
∀α∈ａＮａ^‐を取ると、α＝ａｎａ^‐と書けます。
もちろんｎはＮの元です。 正規部分群の定義からＮの元はＧの全ての元と可換なので
α＝ａｎａ^‐＝ｎａａ^‐＝ｎｅ＝ｎ∈Ｎ。
よってａＮａ^‐⊆Ｎです。
逆にａＮａ^‐⊆Ｎを仮定しましょう。
すると∀ｎ∈Ｎに対して、ａｎａ^‐＝ｎ_１とＮの元ｎ_１が取れます。
ですからａｎ＝ｎ_１ａとなってａＮ⊆Ｎａ。
一方（ａ^‐）^‐＝ａに注意して（２度逆元を取ると元に戻る）、 Ｎの任意の元ｎに対して（ａ^‐）^‐ｎ（ａ^‐）＝ｎ_２なる Ｎの元ｎ_２も存在します。
このことから（ａ^‐）ｎ_２＝ｎ（ａ^‐）となって ａは任意だからａ^‐を改めてａと書く事ができてＮａ⊆ａＮ。
よってａＮ＝ＮａがＧの任意の元ａについて成り立ち、Ｎは正規部分群です。（補題の証明終わり）
さて、この補題を使うとＫｅｒ（ｇ）がＧの正規部分群であることはすぐにわかります。
Ｎ＝Ｋｅｒ（ｇ）とおいていることに注意して、∀ａｎａ^‐∈ａＮａ^‐を取ってｇで移すと、
ｇ（ａｎａ^‐）＝ｇ（ａ）ｇ（ｎ）ｇ（ａ^‐）＝ｇ（ａ）ｅｇ（ａ）^‐＝ｇ（ａ）ｇ（ａ）^‐＝ｅ。
よってａｎａ^‐∈Ｎですから補題よりＫｅｒ（ｇ）＝ＮはＧの正規部分群です。
ですから定理２より準同型写像ｈ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｇ´がｈ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ） を満たすように一意的に決まります。
さらにｇ（ａ）＝ｇ（ｂ）ならばａｂ^‐∈Ｋｅｒ（ｇ）なので補題１によりこのｈは単射です。
またμ：Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）→Ｉｍ（ｇ）をμ（ａＫｅｒ（ｇ））＝ｇ（ａ）で定めれば これは明らかに全射ですから、μ＝ｈに注意してｈは全射です。
よってｈは準同型写像で全単射ですから、Ｇ／Ｋｅｒ（ｇ）〜Ｉｍ（ｇ）が成り立ちます。 （コロラリー２の証明終わり）

ｆ：Ｒ→Ｓを環写像としますとＲ〜Ｓとはｆが全単射になることでした。 群のレベルでも全く同じです。
すなわちｆ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とするとＧ〜Ｇ´とは ｆが全単射になることなのです。
それから今示したコロラリー２の事を群の準同型定理といいます。
では、いよいよＡｒｔｉｎ先生のお出ましです。皆さん、お静かに。

（ガロアの基本定理の後半…fundamental Galois theorem stage2）
前半同様にK／Fを有限次のガロア拡大とする。 A∋E⇔H∈Bをガロアの基本定理の前半で対応させた中間体と部分群とする。 この時、次が正しい。

1. K／Eはガロア拡大で、Hはガロア群
2. σ∈G＝Gal(K／F)に対して、σ（E）⇔σHσ−と対応する。
   E／Fがガロア拡大である必要かつ十分条件はHがGの正規部分群となることである。
3. さらにこのとき、Gal(E／F)〜G／Hが正しい。
   （注：ここで書いた「⇔」は同値という意味ではなく「対応」を表している）

（証明）

1. （１）はすでにガロアの基本定理の前半でE＝K（Gal(K／E)を示しているので、 よい（ガロア拡大とはこういう物でした。 またここではH＝Gal(K／E)と取れていることに注意してください）。
2. （２）を考える。
   τ∈Gal(K／σ（E）)を取ると、 これはσ（E）の元を固定するK上自己同型なので∀σ（e）∈σ（E）に対してτ（σ（e））＝σ（e） であり、よってσ⁻τσ（e）＝eである。
   従ってσ⁻τσはEの元を固定しているK上自己同型なので、σ⁻τσ∈Gal(K／E)。 これはτ∈σGal(K／E)σ⁻を意味する。
   つまりGal(K／σ（E）)＝σGal(K／E)σ⁻である。これで（２）が言えた。
3. 最後の（３）を考える。
   （２）の最後の式をじっと見つめると、次がわかる。
   すなわち「σ（E）＝Eならば、HはGの正規部分群となっている。これは逆も正しい」
   （正規部分群Hとは∀σ∈Gに対してσH＝Hσでした。 これよりH＝σHσ⁻が成り立つ事はよいでしょう。補題２を見てください。もちろん逆も然りです）。
   これにより示すべき事は 「σ（E）＝Eが∀σ∈Gについて成り立つ必要かつ十分条件は体の拡大E／Fがガロアとなること」である。
   まず∀σ∈Gについてσ（E）＝Eを仮定する。
   σ∈Gに対してσ´＝σ｜_EはE上自己同型となる。
   つまりσ´の集合をG´と書くとこれは群をなすから、
   ε：G∋σ→σ´＝σ｜_E∈G´は群の準同型写像であり、Ker(ε)＝Gal(K／E)＝Hが成り立つ。
   なぜならばG´の単位元はE上の恒等写像１_Eであるから。
   よって群の準同型定理によってG´〜G／H。またK（G）＝Fであるから （不変体の定義からこれは明らかでしょう）、
   G´⊂Gal(E／F)を考えればE（G´）＝F。 よって拡大E／Fはガロアで、Gal(E／F)＝G´〜G／Hがわかる
   （これはガロアの定理です。前回の内容を参照してください）。
   逆を示す。すなわちE／Fをガロアとする。
   するとガロアの定理から｜Gal(E／F)｜＝［E：F］が正しく、 さらに｜｛τ：E→K｜τは環写像でτ｜_F＝１_F｝｜≦［E：F］である。
   よってGal(E／F)⊂｛τ：E→K｜τは環写像でτ｜_F＝１_F｝⊃G´であるが、 ⊂は等号となり、従ってσ｜_E∈Gal(E／F)。
   つまり、σ（E）＝Eがわかる。　　　（証明終わり）
   

Ａｒｔｉｎ先生どうもありがとうございました（拍手）。
Ａｒｔｉｎ先生にはまた後で登場していただきます。
やはり少し高度ですね。 本当は予定を変更してガロアの基本定理の後半はやらずに、 すぐに可解群の説明に入ってしまおうかと思ったんですが、 あえて取り上げて見ることにしました。

さて、前回証明をせずに使ってしまったベクトル空間の性質 （厳密には連立方程式の性質）を証明してしまいましょう。
これは現在出版されているあらゆる線形代数の本には必ず出ていますから、 そこからそのまま抜粋します。

（補題）

体Ｋの元を係数とし、ｘ_１、ｘ_２、…ｘ_ｎを 未知数とする連立方程式

ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋…ａ１ｎｘｎ＝０

ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋…ａ２ｎｘｎ＝０

……

ａｍ１ｘ１＋ａｍ２ｘ２＋…ａｍｎｘｎ＝０

は、ｎ＞ｍであれば非自明な解、つまりｘ_１…ｘ_ｎのいずれかは０でない解をもつ。

（証明）
もしすべての係数が０ならば、 例えばｘ_１＝１と取れるので、非自明解を持つ事になる。
従って以後０でない係数があると仮定する。よってａ_１１≠０としてよい。ここで、
Ｌ_ｋ＝ａ_ｋ１ｘ_１＋ａ_ｋ２ｘ_２＋…ａ_ｋｎｘ_ｎ とおく。
さらに最初の式、Ｌ_１＝０の両辺にａ_１１の逆元、 ａ_１１^-をかけることにより、 ａ_１１＝１と仮定してよいことがわかる
（体だから、こういう事ができるわけです）。
そこで連立方程式（この連立方程式を（１）とおく）

Ｌ１＝０

Ｌ２−ａ２１Ｌ１＝０

…

Ｌｍ−ａｍ１Ｌ１＝０

を考えると、この解は元の連立方程式の解と一致している。
またこの連立方程式の２番目以降の方程式にはｘ_２、ｘ_３、…ｘ_ｎしか現れない。
そこでｎに関する帰納法によりこの補題を証明する。
ｎ−１個の未知数に関するｍ−１個の方程式

Ｌ２−ａ２１Ｌ１＝０

…

Ｌｍ−ａｍ１Ｌ１＝０

は非自明な解、ｘ_ｋ＝α_ｋ、ｋ＝２、３、…ｎ　を持つと仮定してよい。
すると、 α_１＝−Σａ_１ｄα_ｄ　　（２≦ｄ≦ｎ） とおくと、
ｘ_ｋ＝α_ｋ、ｋ＝２、３、…ｎは連立方程式（１）の、 従ってもとの連立方程式の自明でない解をあたえる。　　　（証明終わり）

またNO.771　ガロア理論の心（２） で書いた補題２も簡単なので、証明します …その前にベクトル空間上の全ての元は基底の一次結合として一通りに書けるということは、 知っている方が多いと信じていますし、仮に知らなくても、 例えば２次元平面を考えて基本ベクトル（１，０）と（０、１）を考えればこれは基底で 、平面上の全ての元はこの基底の一次独立の形として一通りに決まる事はすぐにわかります。 だからこの事実は認めましょう。 （厳密な証明はＺｏｒｎの補題、あるいはそれと同等な選択公理、 整列定理を使って基底が必ず存在する事をいいます。 興味のある方は代数学の入門書などをお読みください）
まず補題２をもう一度書きます。

（補題２）

Ｍ→（ａ）Ｎ→（ｂ）Ｋを有限次の体の拡大列とすると（従ってａもｂも有限）、 ［Ｋ：Ｍ］＝ａｂが正しい。
これは体の拡大に関する基本的な結果なのでぜひとも証明しておく事柄です。

（補題２の証明）

Ｋの一組の基底、｛α_１、α_２、…α_ｂ｝を取ってきます。
いま［Ｋ：Ｎ］＝ｂですから、このようにｂ個だけ取れるわけですね。
Ｋの全ての元はこのα_１、…α_ｂの一次結合として一意的に書けます。
すなわち、∀ｍ∈Ｋは、ｍ＝�狽�_ｓα_ｓ、（１≦ｓ≦ｂ）と一通りに書けます。
ここで、係数ｃ_１、…ｃ_ｂはＮの元です。
［Ｎ：Ｍ］＝ａですから、やはりＮの一組の基底、 ｛β_１、β_２、…β_ａ｝が取れて Ｎの任意の元はこの基底の一次結合として一通りに書けます。 ですからｃ_１、…ｃ_ｂはこのβ_１、…β_ａの 一次結合で書けるわけです。
つまり、 ｃ_Ｓ＝�狽�_ＳＷβ_Ｗ、（１≦Ｗ≦ａ） と書けます。 ここでもちろんｄ_ＳＷはＭの元です。
よってｍ∈Ｋはｍ＝�煤iｄ_ＳＷβ_Ｗ）α_Ｓ＝ �狽�_ＳＷβ_Ｗα_Ｓです。
したがってＫの全ての元はａｂ個の元の一次結合でかかれる事がわかりました。
次元の定義から、あと示すのはこのａｂ個の元がＭ上一次独立になっていることです。
�狽�_ＳＷβ_Ｗα_Ｓ＝０としますと、 ｃ_Ｓ＝�狽�_ＳＷβ_ＷはＮの元ですから
α_ＳがＮ上で一次独立なので∀ｓについて ｃ_Ｓ＝０＝�狽�_ＳＷβ_Ｗ。
β_ＷはＭ上一次独立なので∀ｗに対して、 つまり∀ｓ、ｗに対してｄ_ＳＷ＝０。
これで題意は満たされました。　　　　　（証明終わり）
この証明はそんなに複雑ではなく、一次独立や、基底の意味をしっかりと掴んでいれば、 定義に沿う証明です。

今回は内容がやや多くなったのでここまでにして、次回は可解群を定義します。 可解というのは「解く事ができる」という意味ですが、 解ける群とはいったいどんな群なのでしょうか？ またそれが方程式を代数的に「解く」という事とどのように関わってくるのでしょうか？ そこら辺の事情を理論化、精密化するのが次回の内容です。

（可解群とＳ（ｎ）の不可解性）

まずは次の補題からいきます。

（補題１）

Ｈ、Ｋを群Ｇに部分群とし、ＨＫ＝｛ｈｋ｜ｈ∈Ｈ、ｋ∈Ｋ｝とおく。
このときこのＨＫがＧに部分群であるための必要かつ十分条件はＨＫ＝ＫＨとなることである。

（証明）

ＨＫがＧの部分群であると仮定する。
このときｈｋ∈ＨＫにたいして（ｈｋ）^‐＝ｋ^‐ｈ^‐∈ＨＫであるから、 あるｈ_１∈Ｈ、ｋ_１∈Ｋが存在して、 ｋ^‐ｈ^‐＝ｈ_１ｋ_１＝（ｈｋ）^‐とかける。
従ってｈｋ＝ｋ_１^‐ｈ_１^‐∈ＫＨである。
つまりＨＫ⊆ＫＨがいえた。
また（ｋｈ）^‐＝ｈ^‐ｋ^‐なので（ｋｈ）^‐∈ＨＫ、 よってｋｈ∈ＨＫとなり、ＫＨ⊆ＨＫとなって、ＫＨ＝ＫＨ。

一方ＨＫ＝ＫＨを仮定する。
すると（ｈｋ）（ｈ_１ｋ_１）^‐＝ｈｋｋ_１^‐ｈ_１^‐ ＝ｈ（ｋｋ_１^‐ｈ_１^‐）で、 ｋｋ_１^‐ｈ_１^‐∈ＫＨ＝ＨＫなので、 ｋｋ_１^‐ｈ_１^‐＝ｈ_２ｋ_２とかける （ｈ_２∈Ｈ、ｋ_２∈Ｋ）。
だからｈ（ｋｋ_１^‐ｈ_１^‐）＝ｈ（ｈ_２ｋ_２）∈ＨＫとなって ＨＫは確かにＧの部分群。 　　　（証明終わり）

（コロラリー１）

Ｎ、ＨはＧの部分群とする。 もしＮがＧの正規部分群ならば、集合ＮＨは必ずＧの部分群。

（証明）

上の補題と正規部分群の定義に従う。　　　　（証明終わり）

さて、次の定理は群の第二同型定理と呼ばれるものです。

（定理１）

Ｎ、ＨはＧの部分群でＮはＧの正規部分群であると仮定する。
Ｎ∩ＨはＨの正規部分群でＮはＮＨの正規部分群であって、しかもＨ／Ｎ∩Ｈ〜ＮＨ／Ｎである。

（証明）

ＮがＮＨの正規部分群であることは全く自明。
群の準同型写像ｆ：Ｈ→ＮＨ／Ｎをｆ（ｈ）＝ｈＮで定めるとすぐわかるように Ｋｅｒ（ｆ）＝Ｎ∩Ｎなので前回示したようにこれはＨの正規部分群である。
一方ｎ∈Ｎ、ｈ∈Ｈとすると、（ｎｈ）Ｎ＝（ｈｎ）Ｎ＝ｈＮよりｆは全射である。
よってNO.791 ガロア理論の心（４） のコロラリー２から、Ｈ／Ｎ∩Ｈ〜ＮＨ／Ｎがいえる。 　　　　（証明終わり）

さて、ここからが今回の本題です。可解群を定義しましょう。

（定義１）

Ｇを群とする。 このＧが可解であるとはＧ内の部分群の列、Ｇ＝Ｇ_１⊃Ｇ_２⊃…⊃Ｇ_ｎ＝｛ｅ｝において、 Ｇ_Ｌ＋１はＧ_Ｌの正規部分群でかつ、 Ｇ_Ｌ＋１／Ｇ_Ｌがアーベル群となることを言う。

この定義からすべてのアーベル群は可解であることがわかります。次の補題２が基本的です。

（補題２）

1. （１）　ｆ：Ｇ→Ｇ´を群の準同型写像とする。もしＧが可解ならば、Ｇの全ての部分群は可解であり、またｆ（Ｇ）も可解である。
2. (２)Ｇ内に正規部分群Ｎで、ＮとＧ／Ｎがとも可解であるにものが含まれているのならば、Ｇ自身が可解である。

(証明)

Ｇを可解とするとＧの部分群の列Ｇ＝Ｇ_１⊃Ｇ_２⊃…⊃Ｇ_ｎ＝｛ｅ｝で 上の定義を満たすものが取れる。
ここでＨをＧの部分群とし、Ｈ∩Ｇ_ｄ＝Ｈ_ｄ（１≦ｄ≦ｎ）とすると Ｈ＝Ｈ_１⊃Ｈ_２⊃…⊃Ｈ_ｎ＝｛ｅ｝となって可解の定義をみたす。
従ってＧの部分群ＨはＧが可解ならば可解である。
またＧ´_ｄ＝ｆ（Ｇ_ｄ）とおくとＧ´内に部分群の列が取れて可解の定義を満たすことは 第二同型定理からわかる。 これで（１）がいえた。

次に（２）を示す。
Ｇ´＝Ｇ／Ｎとおき、ｆ：Ｇ→Ｇ´を自然な写像とする。
まずＧ´内で可解の定義を満たすように部分群の列Ｇ´_ｄ（１≦ｄ≦ｎ）が取れるが、 Ｇ_ｄ＝ｆ^‐（Ｇ´_ｄ）とおくと Ｇの部分群の列Ｇ_ｄは可解の定義を満たし、さらにＧｎ＝Ｎである。 Ｎも可解なのでＮの部分群の列Ｎ_ｍ（１≦ｍ≦р）で定義を満たすように取れる 従ってＧ自身可解である。　　　（証明おわり）

ここでファクターグループがアーベル群になる条件を考えましょう。
ａ、ｂをＧの元として ［ａ、ｂ］：＝ａｂａ^‐ｂ^‐とし、これをａとｂの交換子といいます。
Ｇの有限個の交換子の積の全体を［Ｇ、Ｇ］と書きますとこれはＧの部分群となり （証明は簡単なので皆さんに任せたほうがいいでしょう）Ｇの交換子群といいます。

（定理２）
ＨをＧの部分群とする。
ＨがＧの正規部分群でかつＧ／Ｈがアーベル群であるための必要かつ十分条件はＨがＧの交換子群、 ［Ｇ、Ｇ］を含むことである。
特に交換子群［Ｇ，Ｇ］は正規部分群である。

（証明）
ＨがＧの正規部分群で、Ｇ／Ｈがアーベル群であると仮定する。
今Ｇ／Ｈの任意の２元Ａ＝ａＨ、Ｂ＝ｂＨを取る。
Ｇ／Ｈがアーベル群である事からＡＢＡ^‐Ｂ^‐＝Ｈである。 従ってａｂａ^‐ｂ^‐Ｈ＝Ｈなのでこれはａｂａ^‐ｂ^‐∈Ｈを示す。
よって［Ｇ、Ｇ］⊆Ｈである。

逆にＨをＧの部分群として、Ｈ⊇［Ｇ、Ｇ］を仮定する。
ａ∈Ｈ、ｔ∈Ｇに対してｔａｔ^‐＝ｔａｔ^‐ａ^‐ａ＝［ｔ、ａ］ａ∈ ［Ｇ、Ｇ］ａ⊆Ｈａ＝Ｈで あるからＨは正規部分群である。
ａｂ＝ｂａ（ａ^‐ｂ^‐ａｂ）＝ｂａ［ａ^‐、ｂ^‐］で、 ［ａ^‐、ｂ^‐］∈［Ｇ、Ｇ］⊆Ｈであるから ａｂＨ＝ｂａ［ａ^‐、ｂ^‐］Ｈ＝ｂａＨ。
従ってＡ＝ａＨ、Ｂ＝ｂＨとおくとＡＢ＝ａＨｂＨ＝ａｂＨ＝ｂａＨ＝ｂＨａＨ＝ＢＡとなって Ｇ／Ｈはアーベル群である。　　　　　（証明終わり）

一般にいくつかの物を並べ替えるのは２個ずつの並び替えを何回か繰り返して行えばいいわけです。 このあたりまえの事実を数学的に考察しましょう。
３次対称群Ｓ（３）の中には次のような、やや特別な元があります。 それは（１→２、２→３、３→１）です。これを長さ３の巡回置換といいます
よって長さｎの巡回置換というのは１を２に２を３に…ｎ−１をｎにｎを１に置換するもので ｎ対称群には必ず含まれている事がわかるでしょう。
また長さ２の巡回置換を互換といいます。よって全ての置換は互換の積として書ける訳です。

（補題３）

ｎ≧５としＧはＳ（ｎ）の部分群とする。
ＮはＧの正規部分群でＧ／Ｎはアーベル群であると仮定せよ。
このときＧが長さ３の巡回置換を全て含むならＮも長さ３の巡回置換を全て含む。

（証明）

ｆ：Ｇ→Ｇ／Ｎを自然な写像とする。
文字１≦ａ＜ｂ＜ｃ≦ｎを任意に取り、さらにａ、ｂ、ｃとは異なる２文字ｄ、ｇ（但しｄ≠ｇ）を １からｎの範囲で取って巡回置換ｓ＝（ｄ→ｂ、ｂ→ｃ、ｃ→ｄ）と ｔ＝（ａ→ｃ、ｃ→ｇ、ｇ→ａ）とを考えよ。
Ｇ／Ｎはアーベル群なので定理２からｆ（ｔ）^‐ｆ（ｓ）^‐ｆ（ｔ）ｆ（ｓ）＝ｅである （ｅはもちろん単位元）。
従って（ａ→ｂ、ｂ→ｃ、ｃ→ａ）＝ｔ^‐ｓ^‐ｔｓは ｆのカーネルであるＮに含まれる。 （証明終わり）

次の定理は５次以上の代数方程式には根の公式がないというアーベルの定理と極めて密接に関係しています。

（補題…アーベル）

ｎ≧５ならばＳ（ｎ）は可解でない。

（証明）

ｎが５以上でしかもＳ（ｎ）は可解であると仮定せよ。
Ｇ＝Ｓ（ｎ）とおきＧの部分群の列Ｇｄを可解の定義を満たすように取る。 すると補題３を用いると順番にＧ＝Ｇ１、Ｇ２…Ｇｎは長さ３の巡回置換を全て含むことになるが 最後のＧｎは｛ｅ｝であるからこれは不可能である。　　（証明終わり）

（ガロア理論をやりたかった理由）

ようやくガロア理論の心をある程度示す事ができました。 「ガロア理論とは？」と聞くとごくまれに 「ああ、それなら５次以上の方程式が解けないって事でしょう」という返事を受けますが、 それは大変な誤解です。 ガロア理論の真髄は前にも書いた通りですから、 これを読んだ方はキチンと答える事ができるでしょう。
さて僕は専門が可換論（ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ ａｌｇｅｂｒａ）なのでガロア理論との関係は それほど強いとはいえませんが、 代数学を学んだと言えるためにはガロア理論を学んでいなければなりません。 従ってこのガロア理論というのは代数学の代名詞のようなものです。 ですから当然なまやさしい物ではありません。 僕がガロア理論をやりたかったのは、実はそのような事情があったのです。

（本の紹介）

ここで少し本を紹介します。

（代数構造に関する本）

M.F.Atiyah　and　I.G.Macdonald　“Introduction to Commutative Algebra”

D.A.R.Wallace　“Groups,Rings and Fields”

P.M.Cohn　“An Introduction to Ring Theory”

以上に挙げた本はいずれも優れた本だと思います。 僕自身だいぶ多くを学びました。 リングセオリーシリーズは大体これらの本の内容と同じです。
”Introduction to Commutative Algebra”は今では入手は困難となっていますが、 大学の数学科の図書館に行けばあると思います。 また数学科はどこも事務の方が親切ですから、行けば何かしら対応してくれるはずです。
“Groups,Rings and Fiels“はSpringerから出版されていて、 比較的新しい本ですから容易に手に入れられると思います。 この本は代数構造といわれる群、環、体を懇切丁寧に展開する好著です。 僕が展開したものとはまた一味違った展開の仕方で読んでいて面白いです。
“An Introduction to Ring Theory“は文字どうり「リングセオリー」の入門書です。 高校生が読むのはきついと思いますが、大学の数学科の２年生程度の知識があれば読めると思います。 この本もSpringerが出しています。

（ガロア理論に関する本）
なんと言っても次の本が定番です。

Emile Artin　“GALOISSE THEORIE”

実はこの本は日本語でも出版されています。その名も「ガロア理論入門」です。 出版しているのは東京図書です。 この本はＡｒｔｉｎ先生の書いた本で、 線形代数を用いて難解だったガロア理論をわかりやすく展開したすばらしい本だと思います。 さらにすごいのは高校生でも何とか読めるところでしょう。その他には

Joseph Rotman　“Galois Theory”

がなかなかいい本だと思います。 現在はＡｒｔｉｎ先生のよりこちらの方がメジャーになりつつあるようです。 この本は問題を多く取り上げて、その問題のなかで定義やら命題を挙げています。 ですからこの本は読者が問題を考えなければ意味がないという事を主張しています。 その意味で極めて教育的な本といえるでしょう （不親切と思うなかれ。自分でやった方が力は付くんです）。出版はやはりSpringerです。

（発展的な本）

David Eisenbud　“Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry”

この本は８００ページに達する分厚い本ですが、 その理由は理論が保証している様々な事柄に対して、 その理論が実際に作用する数学的な対象物の解析が次々と行われているからです。 また面白いのは歴史的な背景もキチンとかかれていて、かつガロア理論にも少し触れられています。

Miles Reid　“Undergraduate Commutative Algebra”

この本も幾何学とリングセオリーを組み合わせたいい本だと思います。 Undergraduateと称していますがレベルは大学院並です。 出版しているのはCAMBRIDGE　UNIVERSITY　PRESSというところです。 この本は最近日本語訳が出たらしいですが、僕はあまり日本語訳は勧めません。

（おわりに）

ずいぶんと色々な事を述べてきました。 今、我々は結構数学の中心地にいるのかもしれません。 これから先の事柄については僕が語るよりも、皆さんが進む方がいいでしょう。 代数方程式シリーズの終わりにも同じ事を言いましたね（笑）。
いかがでしたか？これを読んだ方は、 読む前とその後では大分世界が広がったのではないでしょうか？ リングセオリーシリーズの方も（２０）をもって内容の方は終了とした方がいいでしょう。 実はUFDという整域があって、その話をやろうかと思ったんですが、 色々と迷った挙句、やめる事にしました。 現在はそれに関する本は多いですからね。 それからNoether環についても「少し難しいかな…」と思ってやはり他の本に譲ることにしました。