コロキウム室

従って、横浜ベイスタ−ズが優勝する確率は、 (1/4)+(1/4)+(3/16)=(11/16)となります。
(11/16)=0.6875ですから、まだまだベイスタ−ズ有利です。

次に西武ライオンズが優勝する確率を出してみます。

1. 試合数５
   ありえません。
   確率は0
   
2. 試合数６
   「××○○○○」しかありません。
   確率は(1/2)³=1/8
   
3. 試合数７
   「××○□□□○」となります。
   ７試合目は必ず○で、３つの□の中に２個の○と１個の×が入ります。
   確率は(1/2)³×(1/2)×₃Ｃ₁=3/16
   

従って西武ライオンズが優勝する確率は、 0+(1/8)+(3/16)=(5/16)となります。
もちろん、ベイスタ−ズが優勝する確率(11/16)と ライオンズが優勝する確率(5/16)を足すと1になります。

次に総試合数の期待値を計算してみます。 横浜ベイスタ−ズが優勝する場合と西武ライオンズが優勝する場合とがありますから、 それぞれの確率を足して、試合数にかけて足していきます。

　5×(1/4+0)＋6×(1/4+1/8)＋7×(3/16+3/16)
＝5×(1/4)＋6×(3/8)＋7×(3/8)
＝(1/8)×(10+18+21)
＝(49/8)
＝6.125

NO.172 　　　 10/23 　　Junko 　　　 日本シリ−ズ（１２）

９回裏、ベイスタ−ズの攻撃はどきどきもんでしたが、 無念、残念。
通算成績はベイスタ−ズが２勝、西武も２勝、降り出しです。 確率を計算する必要はありませんね、五分五分です。
でも、一応やりましょう。 これ以降も、横浜ベイスタ−ズと西部ライオンズの力が対等として計算します。
お互いに勝つ確率は(1/2)で、負ける確率も(1/2)です。
試合数４、５の可能性はなくなりました。

横浜ベイスタ−ズが優勝する確率です。

1. 試合数６
   「○○××○○」しかありません。
   確率は(1/2)²=1/4
   
2. 試合数７
   「○○××□□○」となります。
   ７試合目は必ず○で、２つの□の中に１個の○と１個の×が入ります。
   確率は(1/2)²×(1/2)×₂Ｃ₁=1/4
   

従って、横浜ベイスタ−ズが優勝する確率は、 (1/4)+(1/4)=(1/2)となります。

西武ライオンズが優勝する確率も 「××○○□□」 となるだけで、同様です。

次に総試合数の期待値を計算してみます。 横浜ベイスタ−ズが優勝する場合と西武ライオンズが優勝する場合とがありますから、 それぞれの確率を足して、試合数にかけて足していきます。

　6×(1/4+1/4)＋7×(1/4+1/4)
＝6×(1/2)＋7×(1/2)
＝(1/2)×(6+7)
＝(13/2)
＝6.5

となります。

NO.173 　　　 10/24 　　Junko 　　　 日本シリ−ズ（１３）

今日の得点を次回に残しておきた−い！　 という位の活躍でベイスタ−ズの圧勝でした。(17-5)
通算成績はベイスタ−ズが３勝、西武は２勝です。
これ以降も、横浜ベイスタ−ズと西部ライオンズの力が対等として計算します。
お互いに勝つ確率は(1/2)で、負ける確率も(1/2)です。

横浜ベイスタ−ズが優勝する確率です。

1. 試合数６
   「○○××○○」しかありません。
   確率は(1/2)
   
2. 試合数７
   「○○××○○×○」となる場合です。
   確率は(1/2)×(1/2)=(1/4)
   

従って、横浜ベイスタ−ズが優勝する確率は、 (1/2)+(1/4)=(3/4)となります。

西武ライオンズが優勝する確率です。

1. 試合数６
   ありえません。
   確率は0
   
2. 試合数７
   「××○○×○○」しかありません。
   確率は(1/2)²=(1/4)
   

次に総試合数の期待値を計算してみます。 横浜ベイスタ−ズが優勝する場合と西武ライオンズが優勝する場合とがありますから、 それぞれの確率を足して、試合数にかけて足していきます。

　6×(1/2)＋7×(1/4+1/4)
＝6×(1/2)＋7×(1/2)
＝(1/2)×(6+7)
＝(13/2)
＝6.5

となります。
これは、昨日と変わりません。 昨日の段階で振り出しに戻ったわけですから、 第１戦が終わった時と同様に総試合数の期待値には変化がありません。
さあ次はいよいよ優勝をかけて横浜スタジアムに戻ってきます。

NO.174 　　　 10/24 　　Junko 　　　 1998カ−ドの問題（２）

授業の中で、集合Ａ＝{x|xは４８の正の約数}というようなものを扱うことがあります。 この集合の要素を具体的に並べる必要がある時に、こう指導しています。

1. まず、小さいほうから１、２、３、・・・と４８を割り切ることができるかどうか、 確かめていく。
2. 約数には必ずペア（かけて４８になるもの）がいるはずだから、 最初のペアが見つかったら折り返し。 （具体的には、√48です。ここまでは我慢して探す。）
3. ペアをどんどん作っていく。

という具合です。 こうすれば、もれなく探し出すことができます。

この約数には必ずかけて、 その数になるペアが存在するというのがポイントです。 つまり、約数の個数は遇数です。

問題に戻ります。 nが自分の約数の時のみ、ひっくり返されることになります。 ところが約数は偶数個なのですから、最終的には表向きになります。
それでは答えは１９９８枚かと思いきや、そうではありません。
例外があります。 それは平方数です。 平方数というのは、何か自然数の２乗になっている数です。
例えば、集合Ｂ＝{x|xは３６の正の約数}というようなものを考えましょう。





折り返すところで、ペアがいないことに気づきます。 それは、自分自身だからです。 この場合、約数の個数は奇数となりますので、最終的には裏向きになってしまいます。

１〜１９９８までの中に平方数がいくつあるか？　というと、 ４４²＝１９３６が最大ですから、４４個です。

答え　１９９８−４４＝１９５４

NO.175 　　　 10/26 　　Junko 　　　 日本シリ−ズ（１４）

最後までどきどきしてしまいましたが、とうとうやりました！
ベイスタ−ズの優勝です。
今年の野球は、横浜、横浜、横浜というわけで、何はともあれうれしいですねえ。
明日の横浜、関内あたりは優勝saleで大変かも・・・。

さて、今回の日本シリ−ズの勝ちパタ−ンは、
「○○××○○」です。 NO.157の「水の流れ」さんのデ−タによれば、 過去に３回も起こっているパタ−ンで、これで４回目となります。

NO.176 　　　 10/26 　　水の流れ 　　　 直円柱の問題（４）

NO.149で提起した問題です。

＜解答＞

３つの平面の交点Ｐの座標は、立体Ｋが直線 x=y=z・・・�C に対称であることにより、 �Cと x+y=1を連立して、x=y=z=(1/2) である。 だから、立体Ｋの第１象限の部分は右の図のようになる。

次に、右の図のように、立体Ｋの第１象限の部分を４つの部分に Ｔ₁、Ｔ₂、Ｔ₃、Ｔ₄に分割する。 立体Ｔ₂、Ｔ₃、Ｔ₄は、図形の対称性により、 合同である。 立体Ｔ₁、Ｔ₂の体積をそれぞれ Ｖ₁、Ｖ₂とする。 このとき、立体Ｔの体積をＶとすると、
(Ｖ/8)＝Ｖ₁＋３Ｖ₂・・・(＊)である。
Ｔ₁は１辺の長さが(1/2)の立方体だから、
Ｖ₁＝(1/2)²＝(1/8)・・・�D
立体Ｔ₂は、底面が１辺の長さ(1/2)の正方形、 高さが(1/2)の四角錐であるから、
Ｖ₂＝(1/3)×(1/2×1/2)×(1/2)＝(1/24)・・・�E
従って、求める体積Ｖは、�D、�Eを(＊)に代入して、
(Ｖ/8)＝(1/4)より、Ｖ＝２・・・(答え)

＜別解＞ 図形の対称性により、立体Ｋの第１象限の部分の体積を８倍することによって、求められる。 第１象限において、不等式は絶対値をはずして、

を考えて、
立体Ｋの第１象限の部分を、平面ｚ＝ｋ（一定）で切った切り口は、 右の図の斜線部である。

NO.177 　　　 10/26 　　2年4組　情報処理科 　　　 数理パズル(２）

こんにちは。 この度数理パズルの問題の解答について考え、 その結果(1)、(2)、(4)の解答がわかりましたのでこのメールをお送りします。

１．について
４５などの数字を４，５というように分解して考える。 ?のところは２，１と３，６をそれぞれ足すと１２になる。
感想
単純に考えていたので最初はすごく悩みました。

２．(1)について

　□□□□□　←ここには[41268] 又は[41286] が入ります。
―　□□□□　←ここには[7935]         [7953]
　３３３３３

４．について
[339]と[19]を読むと「さんびゃくさんじゅうきゅう」、 「じゅうきゅう」となります。
「さんびゃくさんじゅうきゅう」から「じゅうきゅう」を引くのですから、 結果は「さんびゃくさん」、つまり[303]となります。









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