Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.44
NO.366 '99 2/25 水の流れ バレンタインデーの贈り物（１）
太郎さんは、バレンタインデーに教え子から贈り物が届きました。
包装紙をはずしてみると、正方形の箱が出てきました。
振ってみてもカタカタ音がしません。
太郎さんは嬉しそうに、ふたを開けてみると、
１辺が１０ｃｍの正三角形のチョコレートが現れました。
そこで、太郎さんは正三角形のチョコレートが正方形の箱にカタカタ音が
しないように一体何センチの正方形だったか知りたくなりました。
また、どのように入っていたかも教えてください。
皆さんも、考えてください。
＜出 典 ：「正方形に内接する正三角形」と題して、
１９８７年ハンガリーの数学オリンピック出ていたのを改題しました。＞
NO.367 '99 2/25 月の光 ゼーター関数物語（１７）
NO.368 '99 2/25 水の流れ ゼーター関数物語（１８）
「ゼーター関数ζ（２）物語第６夜の始まり、始まり。
昨晩、こんな証明を出しましたね。皆さんは容易に証明できましたね。
『 １＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＜２ を証明しましょう。』
この結果、一般に数列ａ(n)について、単調増加で上に有界な数列は
収束しますから、ヤコブは何らかの有限な数に収束することを示しましたが、
ベルヌーイ兄弟にはその和の正確な値を出すことはできませんでした。
ヤコブは”今もって私たちの必死の探求の目をかいくぐっている、
その答えを教えてくれる人があるならば、私たちは多いに感謝する・・・”
と言い訳をしています。
ベルヌーイ兄弟は何もアイデアももっていませんでした。
それどころか、かのライプニッツ
その人さえ明らかに手に負えない問題だったのです。
この級数、１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・の正確な和を求める問題は大変
難解で、捕まえどころのない数値を出すためにはベルヌーイ兄弟以上の
天才的能力が必要でした。
面白いことに、この問題は１７３４年、他でもないヨハン・ベルヌーイのもとで
数学を学んだ一人の若者によって解決されました。
その生徒こそ、偉大なるレオンハルト・オイラーその人でした。
この驚異的な人物は１７０７年、スイスのバーゼルに生まれました。
当然ながら、幼いときからのその天才ぶりを発揮し、
牧師である父親は息子をあの高名なヨハン・ベル
ヌーイのもとで学べるように奔走したのでした。
１７２７年、オイラーはロシアのセントペテルスブルグ大学に
医学と生理学のポストに就きました。
その後、１７３３年、ついにオイラー
にも数学教授の椅子が巡ってきました。
不幸なことに１７３０年代の中頃から右目の視力が
落ち始め、まもなくまったくみえなくなってしましました。
オイラーがセントペテルスブルグ大学での初年度、
１７３４年に発表したのがゼーター関数
ζ（２）＝１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・の値でした。
このとき、彼はこう語っています。
”・・・私は予想もしなかったエレガントな式を発見した。
・・・それもπを用いてのものである。
オイラーの偉大なところは同じ式を２種類の方法で表現して、
結びつけるところにあります。
どこまでも異なる２つの見地から１つの目標を見出していく能力が、
彼の最も深遠で美しい論証を特徴づけています。
さて、ここで、第６夜の問題です。
手始めに、次の無限級数と無限積が等しいことを証明する必要があります。
ただし、右辺はすべての素数ｐにわたる無限積を表します。
この感覚をつけておかないと、随所にでてきます。
今夜はこれで終わりです。ちなみに、上のことが分かった人はNO.359の
「素数の逆数の総和」の証明は容易にできるでしょう。
NO.369 '99 2/25 みや ゼーター関数物語（１９）
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