コロキウム室

第５１回数学的な応募問題

太郎さんは、有名なピタゴラスの定理（三平方の定理） ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解が次のように表されることを 本を読んで知っています。
ｘ＝２ｍｎ、ｙ＝ｍ^２−ｎ^２、ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２ 　（ただし、ｍ、ｎは互いに素で、ｍ＞ｎとする）
そこで、ピタゴラスの定理を満たす３つの自然数の組をピタゴラス数と言います。 ちなみに、

（ｘ，ｙ，ｚ）＝	（３，４．５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），（８，１５，１７），（９，４０，４１），
	（１１，６０，６１），（１２，３５，３７），（１３，８４，８５），（１６，６３，６５），（２０，２１，２９），
	（２０，９９，１０１），（２８，４５，５３），（３３，５６，６５），（３６，７７，８５），（３９，８０，８９），
	（４８，５５，７３），（６０，９１，１０９），（６５，７２，９７），・・・・・・　、ここで、問題です。

問題１：
ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解 ｘ＝２ｍｎ、ｙ＝ｍ^２−ｎ^２、ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２ 　をどのようにして導いてあるのか。
（ただし、ｍ、ｎは互いに素で、ｍ＞ｎとする）

問題２：
ｘ^２＋ｙ^２＝ｚ^２の自然数解の表現は上記以外、他にもあるのか。

問題３：
ピタゴラス数の３つの自然数の積が６０の倍数であること示してください。

質問：
ピタゴラス数の３つの自然数に関して、何か共通して言えていることがあれば、教えてください。

NO.806 ピタゴラス数（１）の問題２ について、３．「らせん階段の問題」のコメントで書いた内容を再び書きます。

ところで、「Ｘ²＋Ｙ²＝Ｚ²」 を満たす整数Ｘ、Ｙ、Ｚの組（ピタゴラス数といいます。）は一体どの位あるのでしょうか。 結論からいうと無数に存在します。 「3²+4²=5²」は あまりにも有名だからご存じですよね？
１組見つかるとその整数倍「6²+8²=10²」、 「9²+12²=15²」･･･を考えただけでも 無数にありますよね。 しかし、これを除いたとしても無数に存在します。

次にその探し方を紹介しましょう。

　　　(n+1)2-n2=2n+1

という恒等式を利用します。 これより、隣合った整数(n+1とn)の平方の差は必ず奇数(2n+1)になります。 しかも、nを大きくするにつれだんだんと大きくなっていきます。 そこで、奇数かつ平方数（何か整数の２乗）を拾い出せばいいわけです。

　　n　　　2n+1　
　　
　　4　　　9=32　「32+42=52」　　　
　　12　　25=52　「52+122=132」
　　24　　49=72　「72+242=252」
　　40　　81=92　「92+402=412」
　　60　 121=112 「112+602=612」
　　・
　　・
　　・

というわけでいくらでも見つけることができるのです。
　

太郎さんは、こんな逆関数の質問を受けましたので、 コロキウム室の愛読者の皆さんにも考えてもらいたく　投稿します。

【Ｑ　次の関数の逆関数を求める。ｆ（ｘ）＝SIN(SIN　X)】　

と表現するしかないのかな。

第５２回数学的な応募問題

太郎さんは、今日の朝日新聞の読書欄を読んでいて、興味ある数学本の紹介がありました。 ここの記事からの問題です。
1974年、ハンク・アーロンは７１５本のホームランを飛ばし、 35年にベーブ・ルースが作った通産７１４本の記録を破った。 この７１４と７１５という数字には不思議な性質がある。 ７１４の素因数の和は７１５の素因数の和に等しい。
このように、連続する整数で、双方の素因数の和が等しい数のペアを「ルース＝アーロン・ペア」 と呼ぶ。
ここで、太郎さんは、他にもこのようなペアがあるように思えてきました。ここで、問題です。

問題１：
７１４の素因数の和は７１５の素因数の和に等しいことを示してください。

問題２：
「ルース＝アーロン・ペア」を小さい自然数順に、数個発見してください。

問題３：
「ルース＝アーロン・ペア」に何か規則性があるか、ないか調べてください。

問題４：
「ルース＝アーロン・ペア」は無数にあると、ポール・エルデシュは本に書いています。
無数に存在する証明はできるのでしょうか。

＜出典：５月２１日朝日新聞の記事にある「放浪の天才数学者エルデシュ」（草思社）から＞

１１、「ボールの問題」の発展です。
重いか軽いかわかっている時には、天秤ｎ回で３^ｎ個までですが、 重いか軽いかわかっていない時には天秤ｎ回で何個まで判定できるでしょう。

太郎さんは、今授業で、Ｎを自然数としたとき、逆数１／Ｎが有限小数か無限小数かのを 見分ける方法を宿題にしてあります。理由も考えてください。
次ぎに、Ｎを自然数とするとき、分数３／Ｎが、 ちょうど小数第３位までの有限小数となるようなＮを求めてください。

紙に円を描き切り抜きます。次にその円を扇形に切り、内側の角度をθ とします。
切り口を繋ぐと円錐になり、横から見ると二等辺三角形になります。
円錐の頂点を横から見た時の角度をφとするとき、θとφの関係はどう なっているでしょうか。

マッチ棒で３辺が５，１２，１３本の直角三角形を作ります。
この三角形を１０本のマッチ棒で３つの面積が等しい部分に分けて下さい。

E-mail 戻る