Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別／36.バスケットボ−ルの問題・階段の問題



コロキウム室(バスケットボ−ルの問題・階段の問題)


NO.219 　　　 12/2 　　水の流れ 　　　 バスケットボ−ルの問題（１）

今、私はバスケットボールの顧問をしています。
競技での得点はフリースローは１点、 フィールドスローは７ｍ以内は２点、 ７ｍ以上は３点として加算されていきます。
そこで、試合中スコアブックをみると、 時間と得点経過が示されていました。

問１．１０点になるまでの得点経過は何通りですか。

問２．１５点になるまでの得点経過は何通りですか。

問３．ｎ点になるまでの得点経過はをＴ(n)とするとき、 数列Ｔ(n)の漸化式はどうなるでしょうか。



NO.220 　　　 12/3 　　Junko 　　　 バスケットボ−ルの問題（２）

問１．１０点になるまでの得点経過を具体的に調べてみました。
１点、２点、３点の得点回数を(ｘ，ｙ，ｚ)で表して、それぞれ何通りかを調べます。

  1. (10，０，０)　→　１
  2. (８，１，０)　→　９Ｃ１＝９
  3. (６，２，０)　→　８Ｃ２＝２８
  4. (４，３，０)　→　７Ｃ３＝３５
  5. (２，４，０)　→　６Ｃ４＝１５
  6. (０，５，０)　→　５Ｃ５＝１
  7. (７，０，１)　→　８Ｃ１＝８
  8. (５，１，１)　→　７Ｃ１×７Ｃ１＝４２
  9. (３，２，１)　→　６Ｃ１×５Ｃ２＝６０
  10. (１，３，１)　→　５Ｃ１×４Ｃ１＝２０
  11. (４，０，２)　→　６Ｃ２＝１５
  12. (２，１，２)　→　５Ｃ２×３Ｃ１＝３０
  13. (０，２，２)　→　４Ｃ２＝６
  14. (１，０，３)　→　４Ｃ１＝４
以上をすべて足すと、 1+9+28+35+15+1+8+42+60+20+15+30+6+4=274　となります。

問１は１０点ですからまだいいとしても、 問２の１５点はちょっとやる気がしませんよね。
具体的にやるのはやめて、一般論で考えようと思います。
１点、２点、３点ずつ得点が増えていくというのは、 階段を１段、２段、３段ずつ登っていくのと同じですね。 １段、２段ずつ登るなら、 これはフィボナッチ数列です。 だとしたらこれはトリボナッチ数列かな？
そうです、まさにその通り！

１０点に到達するには、次の３通りがあります。
１つは、９点からフリ−スロ−で１点追加し、１０点にいたる。
２つ目は、８点から７ｍ以内のフィ−ルドスロ−で２点追加し、１０点。
そして３つ目は、７点から７ｍ以上のフィ−ルドスロ−で３点追加し、１０点。
というわけです。
つまり、一般的には次の漸化式
Ｔ(ｎ−３)＋Ｔ(ｎ−２)＋Ｔ(ｎ−１)＝Ｔ(ｎ)　（ただし、ｎ≧４）
が成り立っているというわけです。
Ｔ(１)＝１、Ｔ(２)＝２、Ｔ(３)＝４をこの漸化式に当てはめていくと、
Ｔ(４)＝７、Ｔ(５)＝１３、Ｔ(６)＝２４、 Ｔ(７)＝４４、Ｔ(８)＝８１、Ｔ(９)＝１４９、
Ｔ(１０)＝２７４となり、先ほどの結果と一致します。
更に、続けます。
Ｔ(１１)＝５０４、Ｔ(１２)＝９２７、Ｔ(１３)＝１７０５、 Ｔ(１４)＝３１３６、Ｔ(１５)＝５７６８となります。




NO.759 2000.2.25.Junko階段の問題

第１０回・数学オリンピック予選において次のような問題が出題されています。

一歩で１段、２段、または３段を登れる人が、７段の石段を登る。 何通りの登り方があるか。 ただし途中で下りたり、足踏みしたりはしないものとする。




NO.762 2000.2.26.kiyo 階段の問題（２）

トリボナッチ数列の問題ですね。
   123 4567
００１１ ２４７１３ ２４４４

F(1)=0,F(2)=0,F(3)=1
F(N)=F(N-1)+F(N-2)+F(N-3)
答え　４４通り。



NO.763 2000.2.26.Junko 階段の問題（３）

この問題は、NO.219　バスケットボ−ルの問題と同じ問題ですね。
トリボナッチ数列については、NO.217　大相撲本場所（１１）にあります。



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