Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.1〜3／NO.36
コロキウム室
NO.285 '99 1/16 Junko 星形ｎ角形（２）
試しに正５角形から順にかいてみました。
正ｎ角形の中にできる星形ｎ角形の個数をｆ(ｎ)で表す
とします。
ｆ(５)=１となります。
正６角形については、できません。
ｆ(６)=０となります。
正７角形については、２種類できます。
時計まわりに、２つおきに頂点をとっていくものと、
３つおきにとっていくものです。
従って、ｆ(７)=２となります。
正10角形については、３つおきに頂点をとっていくことでできるものだけです。
ｆ(10)=１
正12角形については、５つおきに頂点をとっていくことでできるものだけです。
ｆ(12)=１
一般にｆ(ｎ)はどうなるか？ というと、
オイラ−関数ψ(ｎ)を使って、
ｆ(ｎ)=(1/2)・ψ(ｎ)−１となります。
オイラ−関数ψ(ｎ)というのは、ｎ以下の自然数のうち、
ｎと互いに素なものの個数です。
正ｎ角形の任意の頂点から、ｍ個おきに対角線をひくとします。
ｍ=１とｍ=ｎ−１は除外します。
なぜなら、対角線とはならないからです。
ｎとｍが互いに素でないとき、すなわち１以外の公約数を持つときは、
全ての頂点を回る前に、スタ−ト地点に戻ってきてしまうことになるのでだめです。
(正６角形の時のように・・・)
ｍ=ｋの場合と、ｍ=ｎ−ｋの場合は結果として同じ図形ができます。
星形を逆にたどることになるからです。
従って以上のことをまとめると、
ｆ(ｎ)=(1/2)・｛ψ(ｎ)−２｝
=(1/2)・ψ(ｎ)−１ となります。
NO.286 '99 1/16 Junko 富士山（５）
NO.265で、富士山の高さを3.776としたところを、
身長の0.0015として同じように計算します。
方程式cosθ＝6371/(6371+0.0015)を解くことにより、角θを求めると、
θ＝0.000686･･･(ﾗｼﾞｱﾝ)となりました。
l=rθの式に代入すると、
l＝6371×0.000686･･･＝4.371･･･となりました。
答えは約４．３ｋｍということになるのでしょうか？
NO.287 '99 1/17 水の流れ 分数の問題・その後（８）
NO.281について、
＜解答１＞はこれは数学的にいわゆる演繹法という
解答方法です。
＜解答２＞はこれは数学的にいわゆる帰納法という
解答方法です。１つでも反例があればそれは命題
として「偽」ですから、この証明も可です。
だから、優劣はつけられません。
したがって、いずれも「正しい」のです。
NO.288 '99 1/17 Junko 四角形の最大値 （２）
左の図のように、三角形oabは二等辺三角形となります。
ac=x、∠aob=2θより、求める四角形の面積は、
Ｓ(ｘ)＝２・(1/2)・ｘ・ｒ・sin２θ
＝ｘｒsin２θ
＝２ｘｒsinθcosθ
NO.289 '99 1/18 ヴァー 互いに素（６）
No.260の月の光さんの互いに素の問題を図にしてみました。
横方向のxとして1から100までの自然数を、
縦方向のyとして1から100までの自然数をならべて、
その交点(x,y)について、xとyが互いに素のときには黒、
そうでないときには白という風に色を付けました。
この場合は、黒の割合が6087/10000になりました。(1/20 訂正、白黒逆でした。)
NO.290 '99 1/18 Junko 連続自然数の和（１）
1/16に行われたセンタ−試験＜数学U・Ｂ＞に
次のような問題が出題されています。
整数１５はつぎのように連続した正の整数の和として表すことができる。
１５＝１＋２＋３＋４＋５＝４＋５＋６＝７＋８
１より大きい整数ｎについて、これを連続した２つ以上の正の整数の和で
表すことができるかどうかを調べるプログラムを作った。
途中省略
（３）２から９までの数をｎとして、このプログラムを実行する。
このとき、Yesが１回も表示されないｎを小さい順に書くと、□、□、□である。
Yesが１回も表示されないというのは、
連続した２つ以上の正の整数の和で表すことができないということを意味します。
答えは２，４，８です。
「連続自然数の和として表すことができない数は、
２ｍという形をしたものに限る」
ように思います。
試しに１６，３２，６４と調べてみると、確かにそうなっています。
そしてそれ以外のものは、
連続した正の整数の和として表すことができるようです。
なぜなのでしょう？
NO.291 '99 1/18 水の流れ 等分点
ある長さの線分ＡＢについて、２等分点に２，３等分点に３の
文字を書き入れていきます。
４等分点、５等分点、・・・、についても同様にしていきます。
もちろん、既に記入してある場合もあります。
そこで、２０００等分点を書き入れたとき、新たに増えた
点はいくつありますか。
NO.292 '99 1/18 水の流れ 格子点
ｘｙ平面上の１≦ｘ≦２０、１≦ｙ≦２０の部分にある４００個
の格子点（ｘ座標も、ｙ座標も整数である点）を考えます。
これらの点と原点Ｏを結ぶ線分のうち、端点以外に格子点が
存在しないものものは何本ありますか。
NO.293 '99 1/19 Junko 分数の問題・その後（９）
１２月に出題した分数の問題についてです。
「Idaho Poteto」さんのおっしゃるように
単位分数の和による表現を「少なくとも1通り」示していただければ、
正解と考えて出題しました。
(それ以上のことも内心期待はしていましたが・・・。)
「マサボー」さんは、私が出題した問題としてではなく、
もっと広い意味で「任意の分数(有理数)を単位分数の和として表すこと」
と考えているのではないでしょうか。
かつて、フェルマは
「２２ｎ＋１という数はｎ＝０，１，２，･･･に対して
素数を与える」と考えました。
これらの数はフェルマ数と呼ばれ、Ｆｎと表されます。
Ｆ０＝２１＋１＝３
Ｆ１＝２２＋１＝５
Ｆ２＝２４＋１＝１７
Ｆ３＝２８＋１＝２５７
Ｆ４＝２１６＋１＝６５５３７
でいずれも素数です。
しかしながら後にオイラ−が、Ｆ５が合成数であることを見つけました。
Ｆ５＝２３２＋１＝4294967297＝641×6700417です。
おそらくフェルマは上記の命題を証明しようと試みたのでしょうが、
反例を１つでも見つけてしまえばそれでおしまいです。
NO.281については、
どちらももちろん正しいわけです。
天才(?)は別として、
いきなり「解答１」のような答え方をするのはむずかしいと思います。
やはり最初は「解答２」のように具体的に考えてみるのがいいと思うし、
生徒に説明するような場面では納得もしてもらえると思います。
「解答１」の方がかっこいいという雰囲気があるような気もしますが、
これが数学嫌いを生んでいるような気もします。
問題に取り組む時も、具体的なモデルをたくさん知っていた方が、
その問題の理解に役立つと思います。
ただし命題を覆すなら反例１つで充分ですが、
命題を証明する時は具体例をたくさん示してもだめなのはもちろんです。
NO.294 '99 1/19 水の流れ 互いに素（７）
NO.289で、「ヴァ−」
さんが１００までについて図示してくださいました。
これを、オイラ−関数表で計算すると、確かに
２{ψ(２)＋ψ(３)＋･･･ψ(１００)}＋１＝２×３０４３＋１＝６０８７となっています。
「豊作」さんのレポ−トによれば、
１００００×(６／π２)＝６０７９．２７･･･ですのでまあまあいい感じですね。
E-mail
戻る